Matematikk S2 eksamen høst 2020 - REA3028 oppgaver og løsningsforslag

Øv til S2 høst 2020 med Ifingo-oppgavekort, modellbesvarelser, sterke svar-forklaringer, FAQ og internlenker.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Matteprat-forum: S2S2S2 Eksamen H2020H2020H2020, med oppgave-PDF og revidert løsningsforslag som forumvedlegg.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon av e, ln og produkt

📝 OppgaveDeriver tre funksjoner: én med exe^{x}ex og ln⁡x\ln xlnx, én som produkt med fjerdepotens, og én brøk med e2xe^{2x}e2x. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f(x)=2ex+3ln⁡xf(x)=2e^{x}+3\ln xf(x)=2ex+3lnx får vi f′(x)=2ex+3/xf'(x)=2e^{x}+3/xf′(x)=2ex+3/x.
  2. For g(x)=x(2x+5)4g(x)=x(2x+5)^{4}g(x)=x(2x+5)4 bruker vi produktregelen og kjerneregelen.
  3. Da blir g′(x)=(2x+5)4+8x(2x+5)3g'(x)=(2x+5)^{4}+8x(2x+5)^{3}g′(x)=(2x+5)4+8x(2x+5)3.
  4. Faktorisert kan dette skrives g′(x)=(2x+5)3(10x+5)=5(2x+5)3(2x+1)g'(x)=(2x+5)^{3}(10x+5)=5(2x+5)^{3}(2x+1)g′(x)=(2x+5)3(10x+5)=5(2x+5)3(2x+1).
  5. For h(x)=(x2−1)/e2xh(x)=(x^{2}-1)/e^{2x}h(x)=(x2−1)/e2x kan vi skrive h(x)=(x2−1)e−2xh(x)=(x^{2}-1)e^{-2x}h(x)=(x2−1)e−2x.
  6. Da gir produktregelen h′(x)=2h'(x)=2h′(x)=2xe^(−2x)−2(x2−1)e−2x=(−2x2+2x+2)/e2x(-2x)-2(x^{2}-1)e^{-2x}=(-2x^{2}+2x+2)/e^{2x}(−2x)−2(x2−1)e−2x=(−2x2+2x+2)/e2x.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven velger riktig regel for hver funksjon og samler uttrykkene til ryddige sluttformer.

Oppgave 2

2

Aritmetisk rekke

📝 OppgaveEn aritmetisk rekke starter på -7 og ender på 389 med differanse 4. Finn antall ledd og summen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Leddformelen er an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)dan​=a1​+(n−1)d.
  2. Vi setter inn -7+(n−1)⋅4=3897+(n-1)\cdot 4=3897+(n−1)⋅4=389.
  3. Dette gir 4n−11=3894n-11=3894n−11=389, altså 4n=4004n=4004n=400 og n=100n=100n=100.
  4. Summen blir Sn=n(a1+an)/2S_n=n(a_1+a_n)/2Sn​=n(a1​+an​)/2.
  5. Dermed er S100=100⋅(−7+389)/2=100⋅191=19100S_100=100\cdot (-7+389)/2=100\cdot 191=19100S1​00=100⋅(−7+389)/2=100⋅191=19100.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker både leddformel og sumformel presist, og viser hvorfor antall ledd blir 100.

Oppgave 3

3

Geometrisk rekke og nåverdi

📝 OppgaveAvgjør om en geometrisk rekke konvergerer og bruk nåverdi til å finne et engangsbeløp for framtidige utbetalinger. ✅ Modellbesvarelse
  1. En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten k har absoluttverdi mindre enn 1.
  2. I kontrollgrunnlaget brukes en kvotient rundt 11,04\tfrac{1}{1},0411​,04, og derfor konvergerer rekken.
  3. Summen av den uendelige rekken kontrolleres til 75.
  4. For 20 framtidige innbetalinger på 10 000 kr ved 2,0 % rente regner vi nåverdien av hver betaling.
  5. Nåverdien kan skrives som 100001,02+100001,022\tfrac{10000}{1},02 + \tfrac{10000}{1},02^{2}110000​,02+110000​,022 + ... + 100001,0220\tfrac{10000}{1},02^{2}0110000​,0220.
  6. Dette er en geometrisk sum og gir omtrent 163 500 kr.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven tolker renteoppgaven som nåverdi, ikke som vanlig framtidsverdi.

Oppgave 4

4

Funksjonsdrøfting med toppunkt, bunnpunkt og vendetangent

📝 OppgaveBruk den deriverte og den andrederiverte til å beskrive en tredjegradsfunksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kontrollgrunnlaget viser stasjonære punkter ved x=−2x=-2x=−2 og x=2x=2x=2.
  2. Andrederiverttesten skiller toppunkt fra bunnpunkt: negativ andrederivert gir toppunkt, positiv gir bunnpunkt.
  3. Kontrollverdiene peker mot toppunktet (-2,0) og bunnpunktet (2,-32).
  4. Vendetpunktet ligger midt mellom de to x-verdiene for en slik symmetrisk tredjegradsdrøfting, altså ved x=0x=0x=0.
  5. Kontrollverdien for vendepunktet er (0,-16).
  6. Tangentens stigningstall i vendepunktet er f′(0)=−12f'(0)=-12f′(0)=−12, og vendetangenten blir y=−12x−16y=-12x-16y=−12x−16.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi eleven bruker både f', f'' og geometrisk tolkning av vendepunkt.

Oppgave 5

5

Skisse av graf

📝 OppgaveLag en kvalitetsskisse med nullpunkter, ekstremalpunkter og vendepunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. En god skisse markerer nullpunkter, toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt før kurven tegnes.
  2. Kontrollgrunnlaget peker mot dobbelt nullpunkt ved x=−2x=-2x=−2 og et nullpunkt ved x=4x=4x=4.
  3. Toppunktet ligger i (-2,0), som også forklarer dobbeltroten.
  4. Bunnpunktet ligger i (2,-32), og vendepunktet ligger i (0,-16).
  5. Kurven tegnes med riktig vekst/fall mellom punktene og med riktig endeadferd for en tredjegradsfunksjon.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven ikke bare tegner en kurve, men lar nøkkelpunktene styre skissen.

Oppgave 6

6

Enhetskostnad

📝 OppgaveKostnadsfunksjonen K(x)=x2+8x+100K(x)=x^{2}+8x+100K(x)=x2+8x+100 brukes til å finne enhetskostnad og laveste enhetskostnad. ✅ Modellbesvarelse
  1. Enhetskostnaden er G(x)=K(x)/xG(x)=K(x)/xG(x)=K(x)/x.
  2. Da får vi G(x)=x+8+100/xG(x)=x+8+100/xG(x)=x+8+100/x.
  3. Grensekostnaden er K′(x)=2x+8K'(x)=2x+8K′(x)=2x+8.
  4. Laveste enhetskostnad finnes når K′(x)=G(x)K'(x)=G(x)K′(x)=G(x), eller ved å derivere G direkte.
  5. Vi løser 2x+8=x+8+100/x2x+8=x+8+100/x2x+8=x+8+100/x.
  6. Dette gir x=100/xx=100/xx=100/x, altså x2=100x^{2}=100x2=100. Siden produksjon er positiv, blir x=10x=10x=10.
  7. Minste enhetskostnad er G(10)=10+8+10=28G(10)=10+8+10=28G(10)=10+8+10=28 kr per enhet.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven forklarer sammenhengen mellom tangent, grensekostnad og gjennomsnittskostnad.

Oppgave 7

7

Funksjon uten ekstremalpunkt eller vendepunkt

📝 OppgaveVis at en funksjon i et avgrenset definisjonsområde ikke har ekstremalpunkt eller vendepunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Først bestemmes definisjonsområdet slik at ulovlige x-verdier holdes utenfor.
  2. Deretter finner vi f'(x) og undersøker om f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 har løsninger i definisjonsområdet.
  3. Kontrollgrunnlaget viser at den aktuelle løsningen for f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 faller utenfor definisjonsområdet.
  4. Så undersøkes f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0.
  5. Når denne likningen ikke har reelle løsninger i definisjonsområdet, finnes heller ikke vendepunkt.
  6. Konklusjonen blir at funksjonen verken har ekstremalpunkt eller vendepunkt i området.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven kontrollerer både algebraiske løsninger og om løsningene faktisk er lovlige.

Oppgave 8

8

Inntektsmodell og vekst

📝 OppgaveBruk en modell for å avgjøre når inntektene øker med mer enn 160 milliarder kroner per år. ✅ Modellbesvarelse
  1. I en slik modell tolkes den deriverte som årlig endring i inntekt.
  2. Vi finner derfor I'(t), der t er tid i år.
  3. Deretter løser vi ulikheten I'(t)>160.
  4. Kontrollgrunnlaget oppgir at inntektene for første gang øker med mer enn 160 milliarder kroner per år i 2025.
  5. I en full publisering bør regresjonsmodellen og variabeldefinisjonen hentes direkte fra originaloppgaven.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den tolker den deriverte praktisk og svarer med tidspunkt, ikke bare en x-verdi.

Oppgave 9

9

Etterspørsel og prisreduksjon

📝 OppgaveBestem hvor mye prisen må reduseres for at etterspørselen skal dobles. ✅ Modellbesvarelse
  1. Først skrives etterspørselen som funksjon av prisen.
  2. Dobling betyr at ny etterspørsel er 2 ganger opprinnelig etterspørsel.
  3. Vi setter modellen for ny pris lik dobbelt opprinnelig etterspørsel.
  4. Likningen løses for prisendringen.
  5. Kontrollverdien fra forhåndsvisningen er at prisen må reduseres med 28,88 kr per enhet.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven viser hva dobling betyr matematisk før likningen løses.

Oppgave 10

10

Sannsynlighet og normalfordelt levetid

📝 OppgaveBruk sannsynlighetskalkulator og test om forventet levetid er lavere enn produsenten oppgir. ✅ Modellbesvarelse
  1. Først formuleres modellen for levetiden til temperaturfølere.
  2. Nullhypotesen er H0H0H0: μ=12\mu =12μ=12 år.
  3. Alternativ hypotese er H1H1H1: mu<12 år, fordi mistanken er lavere levetid.
  4. Testen er venstresidig.
  5. Kontrollgrunnlaget oppgir at p-verdien blir lavere enn 5 %.
  6. Da forkaster vi H0H0H0 på 5 % nivå og sier at det er grunnlag for mistanke om lavere levetid.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi hypoteser, testretning, p-verdi og konklusjon henger sammen.

Oppgave 11

11

Medisin og uendelig geometrisk rekke

📝 OppgaveMarit tar 20 mg virkestoff daglig, og 75 % av virkestoffet er igjen fra dagen før. ✅ Modellbesvarelse
  1. Like etter daglig tablett kan mengden beskrives som 20+20⋅0,75+20⋅0,75220+20\cdot 0,75+20\cdot 0,75^{2}20+20⋅0,75+20⋅0,752+...
  2. Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd 20 og kvotient 0,75.
  3. Siden 0<0,75<1 konvergerer rekken.
  4. Summen blir S=20/(1−0,75)=200,25=80S=20/(1-0,75)=\tfrac{20}{0},25=80S=20/(1−0,75)=020​,25=80.
  5. Marit vil derfor nærme seg 80 mg like etter tablettinntak, men ikke passere grensen i modellen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven kobler medisinsk kontekst til en enkel og presis rekkemodell.

Oppgave 12

12

Medisin over tid

📝 OppgaveForklar hvordan virkestoffmengden utvikler seg mellom tablettene. ✅ Modellbesvarelse
  1. Rett etter tablettinntak øker mengden med 20 mg.
  2. Deretter synker mengden fram til neste dose.
  3. Når mønsteret gjentas, nærmer toppverdiene seg 80 mg.
  4. Bunnverdiene rett før neste dose nærmer seg 0,75⋅80=600,75\cdot 80=600,75⋅80=60 mg.
  5. Et sterkt svar skiller derfor mellom mengden like etter dose og like før neste dose.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven tolker modellen dynamisk, ikke bare regner én sum.

Ofte stilte spørsmål

Hvilken fagkode gjelder for S2 høst 2020?S2S2S2 høst 2020 hører til gammel fagkode REA3028. Fagkoden er senere erstattet av REA3062.Hva er de viktigste temaene i S2 høst 2020?Derivasjon, aritmetiske og geometriske rekker, nåverdi, funksjonsdrøfting, enhetskostnad, modellering, sannsynlighet, hypotesetest og medisindosering.Er oppgavekortene direkte kopiert fra eksamen?Nei. De er ifingos egne korte oppgaveformuleringer med egne modellbesvarelser.Hvorfor er noen kontrollnotater ekstra tydelige?Fordi PDF-løsningen ikke var direkte nedlastbar i arbeidsmiljøet, og enkelte verdier er kontrollert via en OCR-preget forhåndsvisning. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo