Separable differensiallikninger, eksponentiell vekst/henfall, logistisk vekst og numeriske metoder.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
En differensiallikning knytter en funksjon til sin egen vekstfart \(y'\). De modellerer alt som utvikler seg over tid — befolkning, spredning, kapital.
1 Enkle differensiallikninger
Løsningen er en funksjon. \(y'=6x^2\) løses ved integrasjon: \(y=2x^3+C\).
2 Eksponentiell vekst: \(y'=ky\)
Regel
Når vekstfarten er proporsjonal med mengden: \(y'=ky\) har løsning \[y=Ce^{kx}\](\(C\) = startverdi, \(k\) = vekstrate).
Eksempel 1
En kapital på 10 000 kr vokser med \(y'=0{,}04y\). Løsning: \(y=10000\,e^{0{,}04x}\). Etter 5 år: \(10000\,e^{0{,}2}\approx12214\) kr.
Merk
Positiv \(k\) gir vekst, negativ gir nedgang (henfall).
✍ Prøv selv
Løs \(y'=0{,}03y\) med \(y(0)=500\).
Vis løsning
\(y=500\,e^{0{,}03x}\).
📌 Sammendrag
- Enkle differensiallikninger løses ved integrasjon.
- \(y'=ky\) gir \(y=Ce^{kx}\) — eksponentiell vekst/nedgang.
🧪 Test deg selv
- Løs \(y'=2x\). Svar \(y=x^2+C\).
- Løsning av \(y'=0{,}1y\)? Svar \(y=Ce^{0{,}1x}\).