Separable differensiallikninger, eksponentiell vekst/henfall, logistisk vekst og numeriske metoder.
Differensiallikninger
En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og dens deriverte. Disse likningene beskriver forandring og brukes til å modellere vekst, forfall, temperaturendring og mye annet.
4A Hva er en differensiallikning? 4B Separable differensiallikninger 4C Eksponentiell vekst og henfall 4D Logistisk vekst 4E Eulers metode (numerisk)
4A · Hva er en differensiallikning?
En differensiallikning (DE) kobler funksjonen \(y = f(x)\) til dens deriverte \(y'\). Den enkleste formen er:
$y' = f(x, y)$
En løsning er en funksjon \(y(x)\) som tilfredsstiller likningen. Typisk finnes det uendelig mange løsninger (en generell løsning), og en spesiell løsning velges ved hjelp av en startverdibetingelse.
✅ Eksempel – Sjekk løsning
Er \(y = e^{2x}\) en løsning av \(y' = 2y\)?
\(y' = 2e^{2x}\) og \(2y = 2e^{2x}\). Ja – de er like!
4B · Separable differensiallikninger
En separabel DE kan skrives som \(\dfrac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)\). Vi løser ved å separere variablene:
📌 Metode – Separasjon
- Skriv \(\dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx\)
- Integrer begge sider
- Løs for \(y\)
✅ Eksempel 1
Løs \(y' = xy\), \(y(0) = 3\).
$\frac{dy}{y} = x\,dx \implies \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \implies y = Ae^{x^2/2}$
Med \(y(0) = 3\): \(A = 3\), altså \(y = 3e^{x^2/2}\).
4C · Eksponentiell vekst og henfall
📌 Eksponentiell vekst/henfall
DE: \(\dfrac{dy}{dt} = ky\), løsning: \(y(t) = y_0 e^{kt}\)
- \(k > 0\): vekst (befolkning, rentes-rente)
- \(k < 0\): henfall (radioaktivitet, avkjøling)
Fordobbellingstid: \(T_2 = \dfrac{\ln 2}{k}\) Halveringstid: \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{|k|}\)
✅ Eksempel 2 – Radioaktivt henfall
Et stoff har halveringstid 5 år. Startmengde 100 g. Finn mengden etter 20 år.
\(k = -\dfrac{\ln 2}{5}\), altså \(y(t) = 100 e^{-\frac{\ln 2}{5}t}\).
$y(20) = 100 e^{-\frac{\ln 2}{5} \cdot 20} = 100 \cdot 2^{-4} = \frac{100}{16} = 6{,}25 \text{ g}$
4D · Logistisk vekst
Eksponentiell vekst er urealistisk på sikt – ressurser begrenser veksten. Logistisk vekst modellerer dette:
📌 Logistisk DE
$\frac{dy}{dt} = ky\left(1 - \frac{y}{M}\right)$
der \(M\) er bæreevnen (maksimal populasjon). Løsning:
$y(t) = \frac{M}{1 + Ae^{-kt}}, \quad A = \frac{M - y_0}{y_0}$
4E · Eulers metode
Eulers metode er en enkel numerisk metode for å tilnærme løsninger av DEs:
📌 Eulers metode
$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$
der \(h\) er steglengden.
🔵 Oppgaver
Grunnleggende
- Sjekk om \(y = 2e^{3x}\) løser \(y' = 3y\).
- Løs \(y' = 2x\), \(y(0) = 5\).
- Løs \(\dfrac{dy}{dt} = -0{,}3y\), \(y(0) = 50\). Finn \(y(10)\).
Middels og eksamensnivå
- En bakteriekultur starter med 500 bakterier og har vekstrate \(k = 0{,}4\)/time. Etter hvor mange timer er det 10 000 bakterier?
- Carbon-14 har halveringstid 5730 år. Et funn inneholder 30 % av original mengde C-14. Finn alderen.
- Bruk Eulers metode med \(h = 0{,}5\) og to steg til å tilnærme \(y(1)\) for \(y' = y\), \(y(0) = 1\).
- En populasjon har logistisk vekst med \(k = 0{,}2\), \(M = 5000\), \(y_0 = 200\). Finn \(y(10)\).