Tallmengder, symbolspråk, likninger, faktorisering, brøkuttrykk og likningssystemer – grunnverktøyene du trenger i S1.
Verktøykassa
Dette kapittelet gir deg de grunnleggende redskapene du trenger gjennom hele S1-kurset: tallmengder, algebra, likninger og ulikheter.
1A · Tallmengder og regneregler
Naturlige tall \(\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}\), hele tall \(\mathbb{Z}\), rasjonale tall \(\mathbb{Q}\) og reelle tall \(\mathbb{R}\) bygger på hverandre. Regnereglene for brøk, potens og røtter er fundamentale.
📐 Nøkkelregler
- Brøkregning: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\), \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\)
- Potens: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\)
- Kvadratsetninger: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
1B · Algebra og faktorisering
Å forenkle og faktorisere algebraiske uttrykk er avgjørende for å løse likninger. Fellesfaktor og kvadratsetningene er de viktigste teknikkene.
✅ Eksempel
Faktoriser \(2x^2 - 8x\).
Løsning: \(2x^2 - 8x = 2x(x-4)\). Vi trekker ut fellesfaktoren \(2x\).
1C · Førstegradslikninger og -ulikheter
En lineær likning \(ax+b=0\) løses ved å isolere \(x\). Ved ulikheter snur ulikhetstegnet når vi ganger/deler med negativt tall.
✅ Eksempel
Løs ulikheten \(3x - 7 > 2x + 1\).
Løsning: \(3x-2x > 1+7\) → \(x > 8\).
1D · Andregradslikninger
Andregradslikningen \(ax^2+bx+c=0\) løses med abc-formelen: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Diskriminanten \(D=b^2-4ac\) avgjør antall løsninger.
✅ Eksempel
Løs \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
Løsning: \(D = 25-24=1\). \(x=\frac{5\pm1}{2}\), så \(x_1=3\) og \(x_2=2\).
1E · Absoluttverdi
\(|x|\) er avstanden fra \(x\) til 0 på tallinja. \(|x|=a\) gir \(x=a\) eller \(x=-a\) (for \(a\geq0\)).
✅ Eksempel
Løs \(|2x-3| = 5\).
Løsning: \(2x-3=5\Rightarrow x=4\) eller \(2x-3=-5\Rightarrow x=-1\).