Potenser og logaritmer – kapittel med teori, eksempler og oppgaver tilpasset læreplanen (LK20).
Potenser og logaritmer
Potensfunksjoner og logaritmer er grunnleggende for å modellere vekst og forfall i natur, økonomi og teknologi.
2A · Potensregler
De grunnleggende potensreglene: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^0=1\), \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
📐 Brøkeksponent
\(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\) og \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\)
✅ Eksempel
Forenkle \(\dfrac{a^3\cdot a^{-1}}{a^2}\).
Løsning: \(\dfrac{a^{3+(-1)}}{a^2}=\dfrac{a^2}{a^2}=a^0=1\).
2B · Logaritmeregler
Logaritmen er den inverse til potensen: \(\log_a(x)=y \Leftrightarrow a^y=x\). Vanlig logaritme: \(\lg x=\log_{10}x\). Naturlig logaritme: \(\ln x=\log_e x\).
📐 Logaritmeregler
- \(\lg(ab)=\lg a+\lg b\)
- \(\lg\!\left(\frac{a}{b}\right)=\lg a-\lg b\)
- \(\lg(a^r)=r\cdot\lg a\)
2C · Eksponentiallikninger
En eksponentiallikning har formen \(a^x=b\). Løs ved å ta logaritmen av begge sider: \(x=\frac{\lg b}{\lg a}\).
✅ Eksempel
Løs \(3^x = 20\).
Løsning: \(x=\dfrac{\lg 20}{\lg 3}=\dfrac{1{,}301}{0{,}4771}\approx 2{,}73\).
2D · Logaritmiske likninger
Likninger med logaritmer løses ved å bruke logaritmereglene for å samle logaritmene, deretter oppheve logaritmen.
✅ Eksempel
Løs \(\lg(x+2)+\lg(x-1)=1\).
Løsning: \(\lg[(x+2)(x-1)]=1\Rightarrow (x+2)(x-1)=10\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow (x+4)(x-3)=0\). Siden \(x>1\): \(x=3\).