Potenser og logaritmer – kapittel med teori, eksempler og oppgaver tilpasset læreplanen (LK20).
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
Potenser beskriver gjentatt multiplikasjon, og logaritmer er «det motsatte» — de finner eksponenten. Sammen er de nøkkelen til å regne på vekst: renter, befolkning og alt som dobler eller halverer seg.
1 Potensregler
Reglene
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^0=1\), \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\), \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\).
Eksempel 1
\(\dfrac{2^5\cdot2^{-2}}{2^0}=2^{3}=8\).
2 Logaritmer
Logaritmen \(\lg x\) svarer på «10 opphøyd i hva gir \(x\)?». Altså: \(\lg 1000=3\) fordi \(10^3=1000\).
Logaritmeregler
\(\lg(ab)=\lg a+\lg b\), \(\lg\dfrac{a}{b}=\lg a-\lg b\), \(\lg(a^n)=n\lg a\).
Eksempel 2
\(\lg(100\cdot1000)=\lg100+\lg1000=2+3=5\).
3 Eksponentiallikninger
Står den ukjente i eksponenten, bruker vi logaritmen for å få den ned.
Eksempel 3 — vekst
Når vokser 1000 kr til 2000 kr med 5 % rente? Løs \(1000\cdot1{,}05^{x}=2000\).
\(1{,}05^{x}=2\). Ta \(\lg\) på begge sider: \(x\lg1{,}05=\lg2\). \(x=\dfrac{\lg2}{\lg1{,}05}\approx\dfrac{0{,}301}{0{,}0212}\approx14{,}2\) år. ⚠ Vanlig feil
\(\lg(a+b)\neq\lg a+\lg b\). Logaritmereglene gjelder bare for produkt, brøk og potens.
✍ Prøv selv
Løs \(3^{x}=81\) (uten kalkulator), og \(2^{x}=10\) (med \(\lg\)).
Vis løsning
\(x=4\); \(x=\dfrac{\lg10}{\lg2}=\dfrac{1}{0{,}301}\approx3{,}32\).
📌 Sammendrag
- Potensregler binder sammen multiplikasjon og eksponenter.
- \(\lg x\) finner eksponenten; \(\lg(ab)=\lg a+\lg b\) osv.
- Eksponentiallikninger løses ved å ta logaritmen på begge sider.
🧪 Test deg selv
- \(\lg 10000\)? Svar 4.
- \(2^3\cdot2^4\)? Svar \(2^7=128\).
- Løs \(5^x=125\). Svar \(x=3\).