Matematikk S1 eksamen høst 2025 - oppgaver og løsningsforslag

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 5 poeng

Oppgave: a) Deriver f(x)=13x3+x+2f(x)=\tfrac13 x^3+\sqrt{x}+2f(x)=31​x3+x ​+2. g(x)=2x−3exg(x)=\dfrac{2x-3}{e^x}g(x)=ex2x−3​. b) Bestem g′(2)g'(2)g′(2) og g′(3)g'(3)g′(3). c) Hva forteller svarene om grafen til ggg på [2,3][2,3][2,3]?

a) f′(x)=x2+12xf'(x)=x^2+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}f′(x)=x2+2x ​1​.

b) g(x)=(2x−3)e−xg(x)=(2x-3)e^{-x}g(x)=(2x−3)e−x, så g′(x)=2e−x−(2x−3)e−x=e−x(5−2x)g'(x)=2e^{-x}-(2x-3)e^{-x}=e^{-x}(5-2x)g′(x)=2e−x−(2x−3)e−x=e−x(5−2x). g′(2)=1e2>0g'(2)=\dfrac{1}{e^2}>0g′(2)=e21​>0, g′(3)=−1e3<0g'(3)=-\dfrac{1}{e^3}<0g′(3)=−e31​<0.

c) Grafen stiger ved x=2x=2x=2 og synker ved x=3x=3x=3; g′g'g′ skifter fortegn i x=52x=\tfrac52x=25​. Altså har ggg et toppunkt ved x=2,5x=2{,}5x=2,5 i intervallet.

Svar: a) f′(x)=x2+12xf'(x)=x^2+\tfrac{1}{2\sqrt x}f′(x)=x2+2x ​1​. b) g′(2)=1e2g'(2)=\tfrac{1}{e^2}g′(2)=e21​, g′(3)=−1e3g'(3)=-\tfrac{1}{e^3}g′(3)=−e31​. c) toppunkt ved x=2,5x=2{,}5x=2,5.

Oppgave 2 3 poeng

Oppgave: a) Løs (lg⁡x)2−2lg⁡x=8(\lg x)^2-2\lg x=8(lgx)2−2lgx=8. b) Bestem aaa slik at log⁡a164=−3\log_a\dfrac{1}{64}=-3loga​641​=−3.

a) La u=lg⁡xu=\lg xu=lgx: u2−2u−8=0⇒(u−4)(u+2)=0⇒u=4u^2-2u-8=0\Rightarrow (u-4)(u+2)=0\Rightarrow u=4u2−2u−8=0⇒(u−4)(u+2)=0⇒u=4 eller u=−2u=-2u=−2. Da er x=104=10000x=10^4=10000x=104=10000 eller x=10−2=0,01x=10^{-2}=0{,}01x=10−2=0,01.

b) a−3=164⇒a3=64⇒a=4a^{-3}=\dfrac{1}{64}\Rightarrow a^3=64\Rightarrow a=4a−3=641​⇒a3=64⇒a=4.

Svar: a) x∈{0,01; 10000}x\in\{0{,}01;\ 10000\}x∈{0,01; 10000}. b) a=4a=4a=4.

Oppgave 3 3 poeng

Oppgave: a) lim⁡x→−2x2−4x+2x2−2x−8\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8}x→−2lim​x2−2x−8x2−4x+2​. b) 1) Bestem aaa slik at lim⁡x→−2x2+ax+2x2−2x−8\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8}x→−2lim​x2−2x−8x2+ax+2​ eksisterer. 2) Bestem grenseverdien.

a) Nevner =(x−4)(x+2)→0=(x-4)(x+2)\to 0=(x−4)(x+2)→0 i x=−2x=-2x=−2, men teller →4+8+2=14≠0\to 4+8+2=14\neq 0→4+8+2=14=0. Grenseverdien eksisterer ikke.

b) For at grensa skal eksistere må teller også bli 0 i x=−2x=-2x=−2: 4−2a+2=0⇒a=34-2a+2=0\Rightarrow a=34−2a+2=0⇒a=3. Da er teller (x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+1)(x+2), og lim⁡x→−2(x+1)(x+2)(x−4)(x+2)=−1−6=16\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}=\dfrac{-1}{-6}=\dfrac16x→−2lim​(x−4)(x+2)(x+1)(x+2)​=−6−1​=61​.

Svar: a) eksisterer ikke. b) a=3a=3a=3, grenseverdi 16\dfrac1661​.

Oppgave 4 3 poeng

Oppgave: a) Passord: 3 tegn av sifrene 1–9 og bokstavene A–F. Første tegn en bokstav, de to neste to ulike siffer. Antall passord? b) Annet passord: 3 tegn, hvert av {1,2,3,4,A,B,C}\{1,2,3,4,A,B,C\}{1,2,3,4,A,B,C}, gjentakelse tillatt, minst én bokstav og minst ett siffer. Antall?

a) Bokstav (6 valg) · første siffer (9) · andre siffer, ulikt (8): 6⋅9⋅8=4326\cdot 9\cdot 8=4326⋅9⋅8=432.

b) 7 symboler, 3 plasser, gjentakelse: 73=3437^3=34373=343 totalt. Trekk fra «bare siffer» (43=644^3=6443=64) og «bare bokstaver» (33=273^3=2733=27): 343−64−27=252343-64-27=252343−64−27=252.

Svar: a) 432. b) 252.

Oppgave 5 2 poeng

Oppgave: f(x)=4x2⋅ln⁡xf(x)=4x^2\cdot\ln xf(x)=4x2⋅lnx. Bestem topp-/bunnpunkt.

Derivasjon. f′(x)=8xln⁡x+4x2⋅1x=4x(2ln⁡x+1)f'(x)=8x\ln x+4x^2\cdot\dfrac1x=4x(2\ln x+1)f′(x)=8xlnx+4x2⋅x1​=4x(2lnx+1). f′=0f'=0f′=0 (for x>0x>0x>0) gir 2ln⁡x+1=0⇒x=e−1/22\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1/2}2lnx+1=0⇒x=e−1/2.

f′f'f′ skifter fra − til + i x=e−1/2x=e^{-1/2}x=e−1/2 → bunnpunkt. f(e−1/2)=4e−1⋅(−12)=−2ef(e^{-1/2})=4e^{-1}\cdot(-\tfrac12)=-\dfrac{2}{e}f(e−1/2)=4e−1⋅(−21​)=−e2​.

Svar: Bunnpunkt (e−1/2, −2e)≈(0,61; −0,74)\left(e^{-1/2},\ -\dfrac{2}{e}\right)\approx(0{,}61;\ -0{,}74)(e−1/2, −e2​)≈(0,61; −0,74). Ingen toppunkt.

Oppgave 6 5 poeng

Oppgave: Program: alternativ=["bom","bom","bom","treff","treff"]; kaster 3 skudd, teller treff, skriver ut ant_treff/3. a) Mulige utskrifter? b) P(skriver 1,0)P(\text{skriver }1{,}0)P(skriver 1,0). c) Straffespark med p=0,3p=0{,}3p=0,3: minst antall for P(minst ett ma˚l)≥50%P(\text{minst ett mål})\ge 50\%P(minst ett ma˚l)≥50%.

a) ant_treff∈{0,1,2,3}\text{ant\_treff}\in\{0,1,2,3\}ant_treff∈{0,1,2,3}, så utskriften er 03,13,23,33\tfrac03,\tfrac13,\tfrac23,\tfrac3330​,31​,32​,33​, altså 0; 13\tfrac1331​; 23\tfrac2332​; 1.

b) P(treff)=25P(\text{treff})=\tfrac25P(treff)=52​. Utskrift 1,01{,}01,0 krever 3 treff: P=(25)3=8125=0,064P=\left(\tfrac25\right)^3=\dfrac{8}{125}=0{,}064P=(52​)3=1258​=0,064.

c) 1−0,7 n≥0,5⇒0,7 n≤0,5⇒n≥ln⁡0,5ln⁡0,7≈1,941-0{,}7^{\,n}\ge 0{,}5\Rightarrow 0{,}7^{\,n}\le 0{,}5\Rightarrow n\ge\dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}7}\approx 1{,}941−0,7n≥0,5⇒0,7n≤0,5⇒n≥ln0,7ln0,5​≈1,94. Altså n=2n=2n=2.

Svar: a) 0, ⅓, ⅔, 1. b) 8125=0,064\tfrac{8}{125}=0{,}0641258​=0,064. c) 2 straffespark.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 6 poeng

Oppgave: Folketall i ei bygd 1910–1935: 800, 963, 1253, 1511, 1720, 1879, 2387, 2774 (ved t=0,3,9,11,15,17,21,25t=0,3,9,11,15,17,21,25t=0,3,9,11,15,17,21,25). a) Lag modell F(t)=a⋅btF(t)=a\cdot b^{t}F(t)=a⋅bt. b) Når økte befolkningen med mer enn 80 per år? c) Når ble gjennomsnittlig vekst fra 1910 større enn 80 per år?

a) Eksponentiell regresjon: F(t)≈836⋅1,050 tF(t)\approx 836\cdot 1{,}050^{\,t}F(t)≈836⋅1,050t (gyldig ca. 0≤t≤250\le t\le 250≤t≤25, altså 1910–1935).

b) F′(t)=F(t)⋅ln⁡1,050>80F'(t)=F(t)\cdot\ln 1{,}050>80F′(t)=F(t)⋅ln1,050>80 løses numerisk: fra t≈14t\approx 14t≈14, altså rundt 1924.

c) Snittvekst F(t)−F(0)t>80\dfrac{F(t)-F(0)}{t}>80tF(t)−F(0)​>80 fra t≈25t\approx 25t≈25, altså rundt 1935.

Svar: a) F(t)≈836⋅1,050tF(t)\approx 836\cdot 1{,}050^{t}F(t)≈836⋅1,050t. b) fra ca. 1924. c) fra ca. 1935.

Oppgave 2 4 poeng

Oppgave: f(x)={2x−2,x≤−22x3+2x2−4x,−2<x<k4,x≥kf(x)=\begin{cases}2x-2, & x\le -2\\ 2x^3+2x^2-4x, & -2<x<k\\ 4, & x\ge k\end{cases}f(x)=⎩ ⎨ ⎧​2x−2,2x3+2x2−4x,4,​x≤−2−2<x<kx≥k​, k∈⟨−2,→⟩k\in\langle -2,\to\ranglek∈⟨−2,→⟩. a) Kontinuerlig i x=−2x=-2x=−2? b) Bestem kkk slik at fff er kontinuerlig i x=kx=kx=k.

a) Venstre: 2(−2)−2=−62(-2)-2=-62(−2)−2=−6. Midtre i x=−2x=-2x=−2: 2(−8)+2(4)−4(−2)=02(-8)+2(4)-4(-2)=02(−8)+2(4)−4(−2)=0. −6≠0-6\neq 0−6=0 → ikke kontinuerlig i x=−2x=-2x=−2.

b) Kontinuitet i x=kx=kx=k: 2k3+2k2−4k=4⇒k3+k2−2k−2=0⇒(k+1)(k2−2)=02k^3+2k^2-4k=4\Rightarrow k^3+k^2-2k-2=0\Rightarrow (k+1)(k^2-2)=02k3+2k2−4k=4⇒k3+k2−2k−2=0⇒(k+1)(k2−2)=0.

Svar: a) nei. b) k=−1k=-1k=−1, k=2k=\sqrt2k=2 ​ eller k=−2k=-\sqrt2k=−2 ​ (alle >−2>-2>−2).

Oppgave 3 6 poeng

Oppgave: Hver pose: 3 grønne, 8 gule, 7 røde (18 totalt). a) Sander tar 2 – P(2 gule)P(\text{2 gule})P(2 gule). b) Henny tar 3 – P(eˊn av hver farge)P(\text{én av hver farge})P(eˊn av hver farge). c) Sander, Henny og Kari tar 1 hver fra sin pose – P(alle samme farge)P(\text{alle samme farge})P(alle samme farge).

a) P=(82)(182)=28153P=\dfrac{\binom{8}{2}}{\binom{18}{2}}=\dfrac{28}{153}P=(218​)(28​)​=15328​.

b) P=(31)(81)(71)(183)=168816=734P=\dfrac{\binom{3}{1}\binom{8}{1}\binom{7}{1}}{\binom{18}{3}}=\dfrac{168}{816}=\dfrac{7}{34}P=(318​)(13​)(18​)(17​)​=816168​=347​.

c) Uavhengige trekk fra hver pose: P=(318)3+(818)3+(718)3=27+512+3435832=49324P=\left(\tfrac{3}{18}\right)^3+\left(\tfrac{8}{18}\right)^3+\left(\tfrac{7}{18}\right)^3=\dfrac{27+512+343}{5832}=\dfrac{49}{324}P=(183​)3+(188​)3+(187​)3=583227+512+343​=32449​.

Svar: a) 28153\tfrac{28}{153}15328​. b) 734\tfrac{7}{34}347​. c) 49324≈0,15\tfrac{49}{324}\approx 0{,}1532449​≈0,15.

Oppgave 4 4 poeng

Oppgave: K(x)=0,02x2+60x+12000K(x)=0{,}02x^2+60x+12000K(x)=0,02x2+60x+12000, salgspris 100 kr/enhet. a) Største overskudd? b) Med faste kostnader ned til 8000 og x=1000x=1000x=1000 enheter: laveste pris uten underskudd?

a) Overskudd O(x)=100x−K(x)=−0,02x2+40x−12000O(x)=100x-K(x)=-0{,}02x^2+40x-12000O(x)=100x−K(x)=−0,02x2+40x−12000. O′(x)=−0,04x+40=0⇒x=1000O'(x)=-0{,}04x+40=0\Rightarrow x=1000O′(x)=−0,04x+40=0⇒x=1000. O(1000)=8000O(1000)=8000O(1000)=8000.

b) Ny kostnad ved 1000 enheter: 0,02⋅10002+60⋅1000+8000=880000{,}02\cdot 1000^2+60\cdot 1000+8000=880000,02⋅10002+60⋅1000+8000=88000. For inntekt≥kostnad\text{inntekt}\ge\text{kostnad}inntekt≥kostnad: 1000p≥88000⇒p≥881000p\ge 88000\Rightarrow p\ge 881000p≥88000⇒p≥88.

Svar: a) største overskudd 8000 kr. b) laveste pris 88 kr.

Oppgave 5 4 poeng

Oppgave: Luktverdi CCC (OU/m³), luktintensitet I=1,4lg⁡(C)−0,3I=1{,}4\lg(C)-0{,}3I=1,4lg(C)−0,3. Prøvene viser CCC mellom 500 og 1400. a) Har beboerne grunnlag for å klage (vurderingstabell: >3 plagsom, >4 tiltak)? b) Hvilken CCC må nye prøver vise for at intensiteten skal bli akseptabel (I≤2I\le 2I≤2)?

a) I(500)=1,4lg⁡500−0,3≈3,5I(500)=1{,}4\lg 500-0{,}3\approx 3{,}5I(500)=1,4lg500−0,3≈3,5 og I(1400)≈4,1I(1400)\approx 4{,}1I(1400)≈4,1. Intensiteten ligger i «plagsam» til «tiltak kreves», så ja – beboerne har grunnlag for å klage.

b) I≤2⇒1,4lg⁡C−0,3≤2⇒lg⁡C≤2,31,4⇒C≤101,643≈44I\le 2\Rightarrow 1{,}4\lg C-0{,}3\le 2\Rightarrow \lg C\le\dfrac{2{,}3}{1{,}4}\Rightarrow C\le 10^{1{,}643}\approx 44I≤2⇒1,4lgC−0,3≤2⇒lgC≤1,42,3​⇒C≤101,643≈44.

Svar: a) ja. b) C≤44C\le 44C≤44 OU/m³.

Oppgave 6 4 poeng

Oppgave: Program: start 100 terninger; per runde kastes alle, hver sekser gir +3 terninger, hvert annet utfall −1, til det er 0 igjen; teller runder. a) Hva er reglene? b) Gjennomsnittlig antall runder?

a) Man starter med 100 terninger. I hver runde kastes alle terningene: hver sekser gir 3 nye terninger, hvert annet utfall fjerner 1 terning. Spillet varer til det ikke er flere terninger igjen, og programmet teller antall runder.

b) Forventet endring per terning per runde: 16⋅(+3)+56⋅(−1)=−13\tfrac16\cdot(+3)+\tfrac56\cdot(-1)=-\tfrac1361​⋅(+3)+65​⋅(−1)=−31​. Antallet terninger avtar altså med faktor 23\tfrac2332​ per runde. Simulering (20 000 spill) gir gjennomsnittlig ca. 8,5 runder.

Svar: a) se reglene over. b) ca. 8–9 runder (≈8,5).