Matematikk S1 eksamen høst 2024 - oppgaver og løsningsforslag

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 2 poeng

Oppgave: Deriver f(x)=e2xxf(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}f(x)=xe2x​.

Kvotientregelen: f′(x)=2e2x⋅x−e2x⋅1x2=e2x(2x−1)x2f'(x)=\dfrac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}\cdot 1}{x^2}=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}f′(x)=x22e2x⋅x−e2x⋅1​=x2e2x(2x−1)​.

Svar: f′(x)=e2x(2x−1)x2f'(x)=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}f′(x)=x2e2x(2x−1)​.

Oppgave 2 2 poeng

Oppgave: Hvilken verdi skrives ut? Programmet: O(x)=−0,1x2+2000x−50000O(x)=-0{,}1x^2+2000x-50000O(x)=−0,1x2+2000x−50000; x=0x=0x=0; while O(x+1)>O(x)O(x+1)>O(x)O(x+1)>O(x): x=x+1x=x+1x=x+1; print(x).

Strategi. Løkka øker xxx så lenge OOO fortsatt vokser. OOO er en andregradsfunksjon som vender ned, med toppunkt i x=20002⋅0,1=10000x=\dfrac{2000}{2\cdot 0{,}1}=10000x=2⋅0,12000​=10000. O(x+1)>O(x)O(x+1)>O(x)O(x+1)>O(x) gjelder så lenge x<9999,5x<9999{,}5x<9999,5, så løkka stopper når x=10000x=10000x=10000.

Svar: Programmet skriver ut 10000.

Oppgave 3 2 poeng

Oppgave: Løs likningen 100x−3⋅10x=4100^x-3\cdot 10^x=4100x−3⋅10x=4.

Sett u=10xu=10^xu=10x. Da er 100x=(10x)2=u2100^x=(10^x)^2=u^2100x=(10x)2=u2, så u2−3u−4=0⇒(u−4)(u+1)=0⇒u=4u^2-3u-4=0\Rightarrow (u-4)(u+1)=0\Rightarrow u=4u2−3u−4=0⇒(u−4)(u+1)=0⇒u=4 (siden u=10x>0u=10^x>0u=10x>0).

Svar: 10x=4⇒x=lg⁡4≈0,6010^x=4\Rightarrow x=\lg 4\approx 0{,}6010x=4⇒x=lg4≈0,60.

Oppgave 4 2 poeng

Oppgave: Finn lim⁡x→∞x2+x−122x2−18\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+x-12}{2x^2-18}x→∞lim​2x2−18x2+x−12​.

Samme grad i teller og nevner → grenseverdien er forholdet mellom de ledende koeffisientene: 12\dfrac{1}{2}21​.

Svar: 12\dfrac1221​.

Oppgave 5 4 poeng

Oppgave: 4 røde, 3 blå, 2 gule kuler (9 totalt). Audun trekker 2 tilfeldig. a) P(to like farger)P(\text{to like farger})P(to like farger). b) P(nøyaktig eˊn gul)P(\text{nøyaktig én gul})P(nøyaktig eˊn gul).

a) P=(42)+(32)+(22)(92)=6+3+136=1036=518P=\dfrac{\binom{4}{2}+\binom{3}{2}+\binom{2}{2}}{\binom{9}{2}}=\dfrac{6+3+1}{36}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}P=(29​)(24​)+(23​)+(22​)​=366+3+1​=3610​=185​.

b) P=(21)(71)(92)=1436=718P=\dfrac{\binom{2}{1}\binom{7}{1}}{\binom{9}{2}}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}P=(29​)(12​)(17​)​=3614​=187​.

Svar: a) 518\dfrac{5}{18}185​. b) 718\dfrac{7}{18}187​.

Oppgave 6 2 poeng

Oppgave: Tre grafer f,g,hf,g,hf,g,h. Én har gjennomsnittlig vekstfart 12\tfrac1221​ på [0,4][0,4][0,4] og derivert 111 i x=1x=1x=1. Hvilken?

Resonnement. ggg er en rett linje med stigningstall 12\tfrac1221​ – den har snittvekstfart 12\tfrac1221​, men konstant derivert 12≠1\tfrac12\neq 121​=1, så ggg er utelukket. Vi trenger en krum graf der sekanten på [0,4][0,4][0,4] har stigning 12\tfrac1221​ mens tangenten i x=1x=1x=1 har stigning 111 – det passer med tredjegradskurven hhh (stiger gjennom (0,4)(0,4)(0,4) mot toppen ved x≈2,5x\approx 2{,}5x≈2,5).

Svar: Funksjon h.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 6 poeng

Oppgave: Antrekk av hodeplagg, skjorte, jakke, bukse, sko. Bedriften har 10, 20, 15, 15, 5 (alle ulike). a) Antall mulige antrekk. b) Tore tar 3 tilfeldige sko – P(et par)P(\text{et par})P(et par). c) Minst antall nye plagg/sko for flere antrekk enn 542 000 mennesker.

a) 10⋅20⋅15⋅15⋅5=225 00010\cdot 20\cdot 15\cdot 15\cdot 5=225\,00010⋅20⋅15⋅15⋅5=225000 antrekk.

b) 5 par = 10 sko. P(minst ett par)=1−(53)⋅23(103)=1−80120=13P(\text{minst ett par})=1-\dfrac{\binom{5}{3}\cdot 2^3}{\binom{10}{3}}=1-\dfrac{80}{120}=\dfrac13P(minst ett par)=1−(310​)(35​)⋅23​=1−12080​=31​.

c) Legg nye enheter i den minste kategorien hver gang (størst relativ vekst). Fra 225 000 kommer vi over 542 000 først etter 7 nye enheter (produktet blir 544 500).

Svar: a) 225 000. b) 13\tfrac1331​. c) 7 nye plagg/skopar.

Oppgave 2 6 poeng

Oppgave: Sann eller usann? a) Snittvekstfart til f(x)=x2+2f(x)=x^2+2f(x)=x2+2 på [1,4][1,4][1,4] er 5. b) Hvis lim⁡x→∞f=lim⁡x→∞g\lim_{x\to\infty}f=\lim_{x\to\infty}glimx→∞​f=limx→∞​g og lim⁡x→−∞f=lim⁡x→−∞g\lim_{x\to-\infty}f=\lim_{x\to-\infty}glimx→−∞​f=limx→−∞​g, så er f=gf=gf=g. c) For ax=aya^x=a^yax=ay er løsningen alltid x=yx=yx=y.

a) Sann. Snittvekstfart =f(4)−f(1)4−1=18−33=5=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{18-3}{3}=5=4−1f(4)−f(1)​=318−3​=5.

b) Usann. Like grenser ved ±∞\pm\infty±∞ sier ingenting om verdiene ellers. Moteksempel: f(x)=0f(x)=0f(x)=0 og g(x)=sin⁡xxg(x)=\dfrac{\sin x}{x}g(x)=xsinx​ – begge går mot 0 ved ±∞\pm\infty±∞, men er ikke like.

c) Usann. For a=1a=1a=1 er 1x=1y1^x=1^y1x=1y for alle x,yx,yx,y; for a=0a=0a=0 eller a=−1a=-1a=−1 finnes også løsninger med x≠yx\neq yx=y.

Svar: a) sann. b) usann. c) usann.

Oppgave 3 2 poeng

Oppgave: Grafen viser f(x)=log⁡a(x)f(x)=\log_a(x)f(x)=loga​(x). Bestem aaa og argumenter.

Grafen går gjennom (5,1)(5,1)(5,1) og (25,2)(25,2)(25,2). log⁡a(5)=1⇒a=5\log_a(5)=1\Rightarrow a=5loga​(5)=1⇒a=5. Kontroll: log⁡5(25)=2\log_5(25)=2log5​(25)=2 ✓ (siden 52=255^2=2552=25).

Svar: a=5a=5a=5.

Oppgave 4 6 poeng

Oppgave: 1 av 1000 knekkebrødpakker har gavekort (reise 5000 kr). Pris 40 kr, produksjon 10 kr. Hassan kjøper 1 pakke/dag. a) Hvor mange dager før P(minst eˊn reise)=20%P(\text{minst én reise})=20\%P(minst eˊn reise)=20%? b) «Gullknekk»: 1 av 100 har gavekort, produksjon 10 kr – hvilken pris gir samme overskudd/pakke som vanlig? c) Simulering: P(minst eˊn reise pa˚ 52 uker)P(\text{minst én reise på 52 uker})P(minst eˊn reise pa˚ 52 uker) med vanlig på hverdager + Gullknekk lør/søn.

a) Binomisk/geometrisk modell (hver dag uavhengig, p=11000p=\tfrac{1}{1000}p=10001​). 1−0,999 n=0,20⇒0,999 n=0,80⇒n=ln⁡0,8ln⁡0,999≈2231-0{,}999^{\,n}=0{,}20\Rightarrow 0{,}999^{\,n}=0{,}80\Rightarrow n=\dfrac{\ln 0{,}8}{\ln 0{,}999}\approx 2231−0,999n=0,20⇒0,999n=0,80⇒n=ln0,999ln0,8​≈223. Sannsynligheten når 20 % ved dag 224.

b) Overskudd/pakke vanlig =40−10−50001000=25=40-10-\dfrac{5000}{1000}=25=40−10−10005000​=25 kr. Gullknekk: forventet gavekort-utbetaling =5000100=50=\dfrac{5000}{100}=50=1005000​=50 kr. Sett pris−10−50=25⇒pris=85\text{pris}-10-50=25\Rightarrow \text{pris}=85pris−10−50=25⇒pris=85 kr.

c) På 52 uker: 260 vanlige (p=11000p=\tfrac{1}{1000}p=10001​) + 104 Gullknekk (p=1100p=\tfrac{1}{100}p=1001​). P=1−0,999260⋅0,99104≈0,73P=1-0{,}999^{260}\cdot 0{,}99^{104}\approx 0{,}73P=1−0,999260⋅0,99104≈0,73.

Svar: a) dag 224. b) 85 kr. c) ca. 73 %.

Oppgave 5 4 poeng

Oppgave: Parkering 1000 kr/plass (alle utleid). +50 kr → én færre utleid. Ved 1500 kr: samme inntekt som nå. a) Vis at det er 30 plasser. b) Største månedlige inntekt?

a) La NNN = antall plasser. Ved 1500 kr er prisen økt 500 kr = 10 steg à 50 kr → N−10N-10N−10 utleid. Samme inntekt: 1500(N−10)=1000N⇒500N=15000⇒N=301500(N-10)=1000N\Rightarrow 500N=15000\Rightarrow N=301500(N−10)=1000N⇒500N=15000⇒N=30.

b) Med kkk prisøkninger: I(k)=(1000+50k)(30−k)=−50k2+500k+30000I(k)=(1000+50k)(30-k)=-50k^2+500k+30000I(k)=(1000+50k)(30−k)=−50k2+500k+30000. Maks ved k=5002⋅50=5k=\dfrac{500}{2\cdot 50}=5k=2⋅50500​=5: I(5)=1250⋅25=31 250I(5)=1250\cdot 25=31\,250I(5)=1250⋅25=31250.

Svar: a) 30 plasser. b) 31 250 kr (pris 1250 kr, 25 plasser).

Oppgave 6 6 poeng

Oppgave: I(x)=250x−0,5x2I(x)=250x-0{,}5x^2I(x)=250x−0,5x2, K(x)=70x+600K(x)=70x+600K(x)=70x+600 (i 1000 kr). a) I′(15)I'(15)I′(15) + tolkning. b) Antall motorer for størst overskudd, og overskuddet. c) Størst overskudd hvis bare de 50 første er feilfrie og 10 % av resten ikke kan selges.

a) I′(x)=250−xI'(x)=250-xI′(x)=250−x, I′(15)=235I'(15)=235I′(15)=235 (i 1000 kr). Tolkning: når salget øker fra 15 motorer, øker inntekten med ca. 235 000 kr per ekstra motor.

b) Overskudd O(x)=I−K=−0,5x2+180x−600O(x)=I-K=-0{,}5x^2+180x-600O(x)=I−K=−0,5x2+180x−600. O′(x)=−x+180=0⇒x=180O'(x)=-x+180=0\Rightarrow x=180O′(x)=−x+180=0⇒x=180. O(180)=15 600O(180)=15\,600O(180)=15600 (i 1000 kr).

c) Produseres ppp motorer selges s=50+0,9(p−50)=0,9p+5s=50+0{,}9(p-50)=0{,}9p+5s=50+0,9(p−50)=0,9p+5. Maksimer O(p)=I(s)−K(p)O(p)=I(s)-K(p)O(p)=I(s)−K(p) (CAS): p≈186p\approx 186p≈186, s≈172s\approx 172s≈172, O≈14 620O\approx 14\,620O≈14620 (i 1000 kr).

Svar: a) 235 000 kr/motor. b) 180 motorer, overskudd 15,6 mill. kr. c) ≈186 produsert → overskudd ≈14,6 mill. kr.

Oppgave 7 2 poeng

Oppgave: Covid-test: sensitivitet 99 %, spesifisitet 98 %, og 99 % av befolkningen er ikke smittet. En tilfeldig person tester positivt – P(faktisk smittet)P(\text{faktisk smittet})P(faktisk smittet)?

Bayes. P(smittet∣+)=P(+∣sm)P(sm)P(+∣sm)P(sm)+P(+∣frisk)P(frisk)=0,99⋅0,010,99⋅0,01+0,02⋅0,99=0,00990,0297=13P(\text{smittet}\mid+)=\dfrac{P(+\mid\text{sm})P(\text{sm})}{P(+\mid\text{sm})P(\text{sm})+P(+\mid\text{frisk})P(\text{frisk})}=\dfrac{0{,}99\cdot 0{,}01}{0{,}99\cdot 0{,}01+0{,}02\cdot 0{,}99}=\dfrac{0{,}0099}{0{,}0297}=\dfrac13P(smittet∣+)=P(+∣sm)P(sm)+P(+∣frisk)P(frisk)P(+∣sm)P(sm)​=0,99⋅0,01+0,02⋅0,990,99⋅0,01​=0,02970,0099​=31​.

Svar: 13≈33%\dfrac13\approx 33\%31​≈33% – selv med positiv test er sjansen for faktisk smitte bare 1 av 3 (fordi svært få er smittet).