Matematikk S1 eksamen høst 2023 - oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk S1

Spørsmål / oppgavekort: Forenkle et uttrykk med potenser, og sorter logaritme-/eksponentialuttrykk.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

og 2: Potensregler og logaritmer

📝 OppgaveForenkle et uttrykk med potenser, og sorter logaritme-/eksponentialuttrykk. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk potensreglene systematisk: telleren og nevneren samles hver for seg før eksponentene trekkes fra.
2. Uttrykket forenkles til 9a2/b9a^{2}/b9a2/b.
3. For rangering brukes kjente verdier: 2ln⁡(e3)=6,3lg⁡(70)2\ln (e^{3})=6, 3\lg (70)2ln(e3)=6,3lg(70) ligger mellom 3 og 6, og e3ln⁡2=8e^{3\ln 2}=8e3ln2=8. Stigende rekkefølge blir 3lg⁡(70),2ln⁡(e3),e3ln⁡23\lg (70), 2\ln (e^{3}), e^{3\ln 2}3lg(70),2ln(e3),e3ln2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser regnereglene og sammenlikner størrelser uten bare å bruke kalkulator.

Oppgave 3

3

Terninger

📝 OppgaveFinn sannsynlighet for ulike og like øyne ved kast med tre terninger. ✅ Modellbesvarelse

1. Alle tre ulike: 66⋅56⋅46=2036=59\tfrac{6}{6}\cdot \tfrac{5}{6}\cdot \tfrac{4}{6}=\tfrac{20}{36}=\tfrac{5}{9}66​⋅65​⋅64​=3620​=95​.
2. Alle tre like: 66⋅16⋅16=136\tfrac{6}{6}\cdot \tfrac{1}{6}\cdot \tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{36}66​⋅61​⋅61​=361​.
3. Nøyaktig to like blir komplementet: 1−59−136=5121-\tfrac{5}{9}-\tfrac{1}{36}=\tfrac{5}{12}1−95​−361​=125​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi komplementregelen gjør tellingen kort og sikker.

Oppgave 4

4

Kontinuitet

📝 OppgaveFinn a slik at en delt funksjon blir kontinuerlig ix=1i x=1ix=1. ✅ Modellbesvarelse

1. Høyre del gir f(1)=1−1=0f(1)=1-1=0f(1)=1−1=0.
2. Venstregrensen er 12+3⋅1−a2=4−a21^{2}+3\cdot 1-a^{2}=4-a^{2}12+3⋅1−a2=4−a2.
3. Kontinuitet krever 4−a2=04-a^{2}=04−a2=0. Dermed er a=2a=2a=2 eller a=−2a=-2a=−2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker definisjonen på kontinuitet, ikke bare grafisk gjetning.

Oppgave 5

5

Grensekostnad

📝 OppgaveForklar et program som finner når grensekostnaden er 200 kr. ✅ Modellbesvarelse

1. Programmet leter etter x der K'(x) er omtrent 200.
2. K(x)=0,1x2+100x+9000K(x)=0,1x^{2}+100x+9000K(x)=0,1x2+100x+9000 gir K′(x)=0,2x+100K'(x)=0,2x+100K′(x)=0,2x+100.
3. K′(x)=200K'(x)=200K′(x)=200 gir 0,2x=1000,2x=1000,2x=100, altså x=500x=500x=500. Det betyr at den neste enheten koster omtrent 200 kr når produksjonen er 500 enheter.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi programmet oversettes til økonomisk tolkning.

Oppgave 1

1

Sofaøkonomi

📝 OppgaveBruk regresjon, inntekt og overskudd for sofaproduksjon. ✅ Modellbesvarelse

1. Kostnadsfunksjonen lages med regresjon og kombineres med inntektsfunksjonen I(x)I(x)I(x). Overskuddet er O(x)=I(x)−K(x)O(x)=I(x)-K(x)O(x)=I(x)−K(x).
2. CAS/graf viser at produksjon på 134 sofaer gir størst overskudd per måned.
3. For å nå 1 million kroner i månedlig overskudd må prisen settes til omtrent 30 450 kr per sofa, og produksjonen blir 164 sofaer.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den skiller kostnad, inntekt og overskudd før optimum finnes.

Oppgave 2

2

Venstrehendte elever

📝 OppgaveBruk binomisk fordeling og sammensatte sannsynligheter. ✅ Modellbesvarelse

1. Sannsynligheten for at minst 25 gutter er venstrehendte er omtrent 75 prosent i modellen.
2. Det må være minst 16 gutter i klassen for at sannsynligheten for minst tre venstrehendte gutter skal være større enn 20 prosent.
3. For nøyaktig tre venstrehendte i klassen kombineres gutte- og jentefordelinger. Løsningssiden gir omtrent 23 prosent.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser valg av binomisk modell og summerer riktige kombinasjoner.

Oppgave 3

3

Rente og dobling

📝 OppgaveRegn med innskudd, doblingstid og samlet beløp. ✅ Modellbesvarelse

1. For å ha 30 000 kr etter 8 år med rente må Per sette inn omtrent 23 682,3 kr.
2. Med 3 prosent rente er doblingstiden omtrent 23,45 år. Med 6 prosent rente er den omtrent 11,896 år, som ikke gjør påstanden om nøyaktig halvering helt riktig.
3. Når to like innskudd med 3 og 6 prosent rente skal bli dobbelt så store samlet, må b⋅1,03x+b⋅1,06x=4bb\cdot 1,03^{x}+b\cdot 1,06^{x}=4bb⋅1,03x+b⋅1,06x=4b. Dette gir x omtrent 15,24 år.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den forklarer hvorfor høyresiden blir 4b4b4b og forkorter beløpet riktig.

Oppgave 4

4

og 5: Terninger og kassevolum

📝 OppgaveBruk komplement, simulering og optimering. ✅ Modellbesvarelse

1. Med fem terninger er sannsynligheten for minst to like øyne 1−66⋅56⋅46⋅36⋅26=49541-\tfrac{6}{6}\cdot \tfrac{5}{6}\cdot \tfrac{4}{6}\cdot \tfrac{3}{6}\cdot \tfrac{2}{6}=\tfrac{49}{54}1−66​⋅65​⋅64​⋅63​⋅62​=5449​, omtrent 90,7 prosent.
2. Simulering gir sannsynligheten for sum over 20 øyne til omtrent 22 prosent, og største k med P(X≥k)>0,8P(X\ge k)>0,8P(X≥k)>0,8 er 14.
3. For en kasse med fast overflateareal gir side 5 dm og høyde 4,75 dm volum 118,75 dm^3. Maksimalt volum er omtrent 126,5 dm^3, og minste plateareal for volum 80 dm^3 er omtrent 88,4 dm^2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi ulike metoder brukes riktig: eksakt sannsynlighet, simulering og optimering.

Oppgave 6

6

Påstander

📝 OppgaveVurder påstander om ekstremalpunkt, skjæring og funksjoner. ✅ Modellbesvarelse

1. Påstanden om at alle tredjegradsfunksjoner har ekstremalpunkt er usann; f(x)=x3f(x)=x^{3}f(x)=x3 er moteksempel.
2. Påstanden om at en linje med D=RD=RD=R og V=RV=RV=R må skjære en tredjegradsfunksjon er sann, fordi en tredjegradsfunksjon også går mot motsatte uendeligheter.
3. Siste påstand vurderes med graf/CAS og er sann ifølge løsningssiden.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det bruker både moteksempel og generell funksjonsforståelse.

Oppgave 1

1

Potensregler

📝 OppgaveForenkle et uttrykk med potenser og negative eksponenter. ✅ Modellbesvarelse

1. Skriv alle faktorer som potenser av a og b før du samler eksponenter.
2. Uttrykket forenkles til 2a−1b22a^{-1}b^{2}2a−1b2.
3. Svar: 2b2/a2b^{2}/a2b2/a.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eksponentreglene brukes systematisk og sluttformen er ryddig.

Oppgave 2

2

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=xln⁡xf(x)=x \ln xf(x)=xlnx. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk produktregelen: f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅(1/x)f'(x)=1\cdot \ln x + x\cdot (1/x)f′(x)=1⋅lnx+x⋅(1/x).
2. Dermed blir f′(x)=ln⁡x+1f'(x)=\ln x+1f′(x)=lnx+1.
3. Definisjonsmengden er x>0, siden ln⁡x\ln xlnx bare er definert for positive x.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den tar med produktregel og definisjonsmengde.

Oppgave 3

3

Grenseverdi

📝 OppgaveFinn lim når x går mot 2 av (x3−8)/(x2−4)(x^{3}-8)/(x^{2}-4)(x3−8)/(x2−4). ✅ Modellbesvarelse

1. Direkte innsetting gir 00\tfrac{0}{0}00​, så uttrykket må bearbeides.
2. Med l'Hôpitals regel deriveres teller og nevner: (3x2)/(2x)(3x^{2})/(2x)(3x2)/(2x).
3. Setter vi inn x=2x=2x=2, får vi 124=3\tfrac{12}{4}=3412​=3.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser hvorfor direkte innsetting ikke er nok og bruker en gyldig metode.

Oppgave 4

4

Kuler uten tilbakelegging

📝 OppgaveFinn sannsynlighet for to svarte og minst to hvite kuler. ✅ Modellbesvarelse

1. To svarte kuler i tre trekk kan skje i tre plasseringer. P=3⋅37⋅26⋅45=1235P=3\cdot \tfrac{3}{7}\cdot \tfrac{2}{6}\cdot \tfrac{4}{5}=\tfrac{12}{35}P=3⋅73​⋅62​⋅54​=3512​.
2. Minst to hvite betyr enten nøyaktig to hvite eller tre hvite.
3. P(minst to hvite)=3*(4/7)*(3/6)*(3/5)+(4/7)*(3/6)*(2/5)=22/35.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den bruker plasseringer og uten-tilbakelegging korrekt.

Oppgave 5

5

Program og grensekostnad

📝 OppgaveForklar hva en while-løkke finner når den sammenlikner differansekvotient med 260. ✅ Modellbesvarelse

1. Differansekvotienten er en numerisk tilnærming til K'(x).
2. Programmet øker x til den deriverte ikke lenger er mindre enn 260.
3. Med K′(x)=0,4x+140K'(x)=0,4x+140K′(x)=0,4x+140 får vi 0,4x+140=2600,4x+140=2600,4x+140=260, altså x=300x=300x=300. Tolkning: ved 300 enheter er marginalkostnaden omtrent 260 kr per ekstra enhet.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi programlinjene oversettes til matematisk og økonomisk mening.

Oppgave 15

15

Publiseringspunkter

📝 OppgaveSett opp del 2-siden slik at den kan fylles endelig etter PDF-kontroll. ✅ Modellbesvarelse

Oppgave 1

1

bør dekke modellering/økonomi eller funksjonsanalyse avhengig av original-PDF, med eksplisitt modell, CAS/graf og praktisk tolkning.

📝 Oppgave ✅ Modellbesvarelse

Oppgave 2

2

4 bør føres med samme Ifingo-standard: oppgavekort, full modellbesvarelse, kontroll av metode og kort vurdering av sterkt svar.

📝 OppgaveFør publisering: kontroller del 2 mot lenkene 'Løysing laga i separate løsningsfiler. ✅ Modellbesvarelse

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi siden ikke later som del 2 er fullverifisert når hovedkilden ikke viser regningen direkte.

Ofte stilte spørsmål

Hva bør jeg øve på før S1 høst 2023?Algebra, logaritmer, sannsynlighet, kontinuitet, grensekostnad, binomisk fordeling, renter og optimering.Hva kjennetegner høst 2023?Settet har mange modelloppgaver der tolkning er like viktig som regning.Hva gir sterke svar i dette settet?Tydelige modeller, riktige sannsynlighetsvalg og korte praktiske tolkninger.Hva er hovedtemaene i S1 vår 2023?Algebra, derivasjon, grenseverdi, sannsynlighet uten tilbakelegging, programtolkning og marginalkostnad.Hvorfor er del 2 merket med kontrollnote?Fordi del 1 vises direkte, mens del 2 ligger i separate løsningsfiler som må kontrolleres før endelig publisering.Kan denne siden publiseres slik den står?Del 1 kan brukes som utkast. Del 2 bør fylles ferdig etter PDF-kontroll for å bli komplett. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S1

Relaterte sider

Matematikk S1EksamensoppgaverMatematikk