Matematikk S1 eksamen høst 2022 - oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk S1

Spørsmål / oppgavekort: Sett opp del 1 med algebra, funksjon og sannsynlighet etter original-PDF.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Algebra og funksjoner

📝 OppgaveSett opp del 1 med algebra, funksjon og sannsynlighet etter original-PDF. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk kort oppgavekort for hver deloppgave, ikke kopier hele oppgaven ordrett.
2. For algebraoppgaver skal modellbesvarelsen vise definisjonsmengde, omskriving og kontroll av løsning.
3. For funksjonsoppgaver skal svaret vise grafisk/digital metode, ekstremalpunkt og tolkning der det er relevant.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi siden får en trygg publiseringsstruktur selv før endelig PDF-kontroll.

Oppgave 2

2

Modellering og digitale verktøy

📝 OppgaveBygg siden med metadata, FAQ og internlenker selv om løsningsdelen må sluttkontrolleres. ✅ Modellbesvarelse

1. Lag én løsning per oppgave med modell, metode, regning og praktisk tolkning.
2. Hvis oppgaven bruker CAS, skal filen forklare hvilke likninger som løses og hva resultatet betyr.
3. Marker eventuelle avrundede svar med enhet og rimelighetskontroll.
4. SEO-tittel og URL kan publiseres tidlig: /matematikk/s1s1s1/eksamen-host-2022/.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi det gir Ifingo-redaksjonen en tydelig sjekkliste for å ferdigstille siden uten usikker fasit. SEO og publisering for høst 2022

Oppgave 1

1

Potensregler

📝 OppgaveSkriv et uttrykk med potenser av a og b så enkelt som mulig. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk potensreglene for produkt, potens av potens og negativ eksponent.
2. Skriv først hvert ledd som faktor med eksponenter, og samle deretter a-ledd og b-ledd hver for seg.
3. Et karakter 6-svar viser minst ett mellomsteg der negative eksponenter flyttes til riktig plass før sluttformen skrives.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi metoden er transparent, og eleven viser kontroll på negative eksponenter.

Oppgave 2

2

Enhetskostnad og derivasjon

📝 OppgaveEn fabrikk produserer strikkeluer med E(x)=0,2x+40+20000/xE(x)=0,2x+40+20000/xE(x)=0,2x+40+20000/x. Bestem E'(100) og tolk svaret. ✅ Modellbesvarelse

1. Deriver: E′(x)=0,2−20000/x2E'(x)=0,2-20000/x^{2}E′(x)=0,2−20000/x2.
2. Sett inn x=100x=100x=100: E′(100)=0,2−2000010000=0,2−2=−1,8E'(100)=0,2-\tfrac{20000}{10000}=0,2-2=-1,8E′(100)=0,2−1000020000​=0,2−2=−1,8.
3. Tolkning: Når produksjonen er 100 luer per dag, synker kostnaden per lue med omtrent 1,80 kr dersom produksjonen økes med én lue.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi den deriverte tolkes som endring i kostnad per lue, ikke som total kostnad.

Oppgave 3

3

Grenseverdi

📝 OppgaveBestem lim når x går mot 3 av (x−3)/(x2+x−12)(x-3)/(x^{2}+x-12)(x−3)/(x2+x−12). ✅ Modellbesvarelse

1. Faktoriser nevneren: x2+x−12=(x+4)(x−3)x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)x2+x−12=(x+4)(x−3).
2. Forkort x-3 for x ulik 3. Da står 1/(x+4)1/(x+4)1/(x+4) igjen.
3. Sett inn x=3x=3x=3: grenseverdien er 17\tfrac{1}{7}71​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi 00\tfrac{0}{0}00​-situasjonen håndteres med faktorisering før innsetting.

Oppgave 4

4

Eksponentiallikning

📝 OppgaveLøs e2x−ex=2e^{2x}-e^{x}=2e2x−ex=2. ✅ Modellbesvarelse

1. Sett u=exu=e^{x}u=ex. Da blir e2x=u2e^{2x}=u^{2}e2x=u2, og likningen blir u2−u=2u^{2}-u=2u2−u=2.
2. Løs u2−u−2=0u^{2}-u-2=0u2−u−2=0. Faktorisering gir (u−2)(u+1)=0(u-2)(u+1)=0(u−2)(u+1)=0.
3. Siden u=ex>0u=e^{x}>0u=ex>0, forkastes u=−1u=-1u=−1. Dermed er ex=2e^{x}=2ex=2 og x=ln⁡2x=\ln 2x=ln2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi substitusjonen forklares og ugyldig løsning forkastes.

Oppgave 5

5

Logaritmelikning med parameter

📝 OppgaveBestem a slik at x=7x=7x=7 er løsning av lg⁡(x+3)+lg⁡x=lg⁡a\lg (x+3)+\lg x=\lg alg(x+3)+lgx=lga. ✅ Modellbesvarelse

1. Sett inn x=7x=7x=7: lg⁡(7+3)+lg⁡7=lg⁡10+lg⁡7\lg (7+3)+\lg 7=\lg 10+\lg 7lg(7+3)+lg7=lg10+lg7.
2. Bruk logaritmeregelen lg m + lg n = lg(mn): lg⁡10+lg⁡7=lg⁡70\lg 10 + \lg 7 = \lg 70lg10+lg7=lg70.
3. Siden høyresiden er lg⁡a\lg alga, må a=70a=70a=70.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi svaret bruker logaritmeregler og ikke bare numerisk gjetting.

Oppgave 6

6

Program og sannsynlighet

📝 OppgaveForklar et program som undersøker sannsynlighet og finn det teoretiske svaret. ✅ Modellbesvarelse

1. Programmet simulerer mange forsøk og teller hvor ofte en bestemt hendelse skjer.
2. Et sterkt svar beskriver hendelsen med ord, finner teoretisk sannsynlighet og sammenlikner med simulert andel.
3. Før publisering må nøyaktig hendelse og programlinjer hentes fra original-PDF, men løsningsformen bør være: definér hendelse, regn sannsynlighet, tolk simuleringen.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi programforståelsen kobles til sannsynlighetsregning.

Oppgave 1

1

Gårdsbrukmodell

📝 OppgaveBruk tabell for antall gårdsbruk i Norge og lag en modell for utviklingen. ✅ Modellbesvarelse

1. Tabellen viser fallende antall gårdsbruk fra 1969 til 2020. En eksponentiell modell eller annen avtakende regresjonsmodell kan være rimelig, men valget må begrunnes.
2. Bruk modellen til å estimere antall gårdsbruk i 2060, og vurder om langtidsframskrivingen er rimelig.
3. For å finne når antallet avtar med ca. 1000 per år, løses et krav til den deriverte: modellen skal ha vekstfart omtrent -1000.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi modellvalg, framskriving og deriverte tolkes i kontekst.

Oppgave 2

2

Oppkjøring og binomisk sannsynlighet

📝 Oppgave12 elever skal ha oppkjøring, og 74 prosent består i statistikken. ✅ Modellbesvarelse

1. For binomisk modell må vi anta uavhengige forsøk og samme bestå-sannsynlighet p=0,74p=0,74p=0,74 for hver elev.
2. Minst 8 av 12 består: la X~Bin(12,0,74), og beregn P(X≥8)P(X\ge 8)P(X≥8).
3. Akkurat 5 av 7 gutter og 4 av 5 jenter består: regn produktet P(G=5)⋅P(J=4)P(G=5)\cdot P(J=4)P(G=5)⋅P(J=4), med G~Bin(7,0,74) og J~Bin(5,0,74), dersom gruppene behandles uavhengig.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den først vurderer modellforutsetningene før sannsynligheten regnes.

Oppgave 3

3

og 4: Rente og simulering

📝 OppgaveArbeid med månedlig rente og et terningspill som simuleres. ✅ Modellbesvarelse

1. For B(x)=70000⋅1,003xB(x)=70000\cdot 1,003^{x}B(x)=70000⋅1,003x er månedlig vekstfaktor 1,003. Årlig vekstfaktor blir 1,003121,003^{1}21,00312, og årlig rente er (1,00312−1)⋅100(1,003^{1}2-1)\cdot 100(1,00312−1)⋅100 prosent.
2. For å finne når beløpet blir 80000, løses 70000⋅1,003x=8000070000\cdot 1,003^{x}=8000070000⋅1,003x=80000.
3. Terningspillet simulerer produktet av tre terninger. Et sterkt svar viser kode/algoritme, antall simuleringer og andel der produktet er større enn 100.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi rente, likning og simulering holdes som tre tydelige metoder.

Oppgave 5

5

og 6: Geometri og avkjøling

📝 OppgaveMaksimer rektangelareal i trekant og bruk Newtons avkjølingslov. ✅ Modellbesvarelse

1. For rektangelet uttrykkes arealet T som funksjon av punktet P(a,b)P(a,b)P(a,b) på kateten. Deretter maksimeres T med graf, derivasjon eller CAS.
2. I avkjølingsloven brukes ln⁡(T−T0)\ln (T-T0)ln(T−T0)=-kt+r med romtemperatur T0=22T0=22T0=22 grader.
3. Bruk T(0)=82T(0)=82T(0)=82 og T(2)=66T(2)=66T(2)=66 til å bestemme k og r. Deretter løses likningen T(t)<40T(t)<40T(t)<40 for t.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi geometri og modellering settes opp før digitale verktøy brukes.

Oppgave 7

7

Grafer og deriverte

📝 OppgaveKoble grafer til funksjoner og deriverte. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk stigning: der grafen til f øker, skal f' være positiv. Der f minker, skal f' være negativ.
2. Nullpunkter til den deriverte samsvarer med topp- og bunnpunkter på funksjonen.
3. Et sterkt svar argumenterer graf for graf, ikke bare oppgir bokstavene.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker sammenhengen mellom graf og derivert som begrunnelse.

Ofte stilte spørsmål

Hvorfor er høst 2022 merket som kontrollpunkt?Fordi hovedkilden peker til ekstern løsnings-PDF uten innlimt HTML-regning. Fasit bør derfor kontrolleres før endelig publisering.Kan siden likevel brukes?Ja, som publiseringsmal og arbeidsutkast. Den bør ferdigstilles med konkrete deloppgaveløsninger etter PDF-kontroll.Hvilke temaer bør forventes?S1S1S1-temaer som algebra, funksjoner, sannsynlighet, modellering, økonomi og digitale verktøy.Hva bør jeg øve på før S1 vår 2022?Potensregler, derivasjon, grenseverdier, eksponentiallikninger, logaritmer, binomisk sannsynlighet, modellering og simulering.Er vår 2022 REA3060?Ja, tilgjengelig oppgavegrunnlag viser REA3060 Matematikk S1S1S1 vår 2022.Hvorfor har noen deloppgaver kontrolltekst?Fordi enkelte program- og del 2-detaljer må sjekkes mot original-PDF for nøyaktig oppgavetekst før endelig publisering. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S1

Relaterte sider

Matematikk S1EksamensoppgaverMatematikk