Derivasjon handler om hvor raskt en størrelse forandrer seg. I dette kapittelet lærer du gjennomsnittlig og momentan vekstfart, definisjonen av den deriverte, derivasjonsregler (potens, sum, konstant, eksponential- og logaritmefunksjon, kjerne-, produkt- og brøkregelen), hvordan fortegnet til f'(x) gir topp-, bunn…
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
Den deriverte måler hvor raskt en funksjon endrer seg — vekstfarten i et punkt. I S1 bruker vi den til å finne når noe vokser eller avtar, og hvor fortjeneste eller kostnad er størst eller minst.
1 Gjennomsnittlig vekstfart
Mellom to punkter er vekstfarten stigningstallet til linja gjennom dem: \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Eksempel 1
\(f(x)=x^2\) fra \(x=1\) til \(x=3\): \(\dfrac{9-1}{2}=4\).
2 Den deriverte
Lar vi punktene nærme seg hverandre, får vi den momentane vekstfarten — den deriverte \(f'(x)\), som er stigningstallet til tangenten.
Derivasjonsregler
- \((x^n)'=n\,x^{n-1}\)
- \((c)'=0\), \((k\cdot f)'=k\cdot f'\), \((f+g)'=f'+g'\)
Eksempel 2
\(f(x)=x^3-2x^2+5x-1\Rightarrow f'(x)=3x^2-4x+5\).
⚠ Vanlig feil
\((x^4)'=4x^3\) — senk eksponenten med 1 og gang ned den gamle. Konstantledd blir 0.
✍ Prøv selv
Deriver \(2x^2-3x\) og \(x^4+x\).
Vis løsning
\(4x-3\); \(4x^3+1\).
3 Topp- og bunnpunkt
I et topp- eller bunnpunkt er tangenten vannrett — altså \(f'(x)=0\).
Eksempel 3
\(f(x)=x^2-4x+3\Rightarrow f'(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2\), \(f(2)=-1\). Bunnpunkt \((2,-1)\).
✍ Prøv selv
Finn bunnpunktet til \(f(x)=x^2-6x+5\).
Vis løsning
\(f'=2x-6=0\Rightarrow x=3,\ (3,-4)\).
📌 Sammendrag
- Gjennomsnittlig vekstfart \(=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
- Den deriverte \(f'(x)\) gir momentan vekstfart; \((x^n)'=nx^{n-1}\).
- Topp-/bunnpunkt: løs \(f'(x)=0\).
🧪 Test deg selv
- Deriver \(x^3+4x\). Svar \(3x^2+4\).
- Bunnpunkt til \(x^2-2x\)? Svar \((1,-1)\).