Formelbank Matematikk R2 – alle formler forklart

Formelbanken for Matematikk R2 samler 185 forklarte formler fra alle 19 kapitlene, med 30 gjennomregnede mikroeksempler. En formelbank skal ikke bare vise symboler: for hver formel finner du hva den betyr, når den kan brukes, hvilke symboler som inngår, et mini-eksempel, den vanligste feilen og en konkret kontroll.

Siden er bygd som et formelkart. Du kan gå rett til kapitlet du jobber med, eller søke etter en formel. Til slutt finner du en oversikt over formler som ofte forveksles, og svar på vanlige spørsmål.

Følger og rekker

• Aritmetisk følge: a_n = a_1 + (n − 1)d. Neste ledd rekursivt: a_(n+1) = a_n + d.
• Sum av aritmetisk følge: S_n = n/2 · (2a_1 + (n − 1)d).
• Geometrisk følge: a_n = a_1 · k^(n−1). Geometrisk sum: S_n = a_1 · (k^n − 1)/(k − 1).
• Uendelig geometrisk rekke: S = a_1/(1 − k) når |k| < 1.
• Konvergens: lim a_n = L når n → ∞. Divergens når grensen ikke finnes.

Rekursive sammenhenger og programmering

• Rekursiv formel: a_(n+1) = f(a_n), med startverdi a_1 oppgitt.
• Fastpunktiterasjon: x_(n+1) = g(x_n) søker et fikspunkt der f(x) = x.
• Relativ endring i en rekursjon: r_n = (a_(n+1) − a_n)/a_n.
• Stoppkriterium og toleranse: |a_(n+1) − a_n| < ε.

Matematiske bevis og induksjon

• Implikasjon P ⇒ Q og ekvivalens P ⇔ Q.
• Induksjon: vis at P(1) er sann, og at P(k) ⇒ P(k + 1).
• Kontrapositivt bevis: (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P).

Radianer og enhetssirkelen

• Enhetssirkelen: x² + y² = 1, med punktet P = (cos θ, sin θ).
• Buelengde og sektorareal: s = rθ og A = ½ r²θ, med θ i radianer.
• Grader og radianer: v_rad = v_grad · π/180 og v_grad = v_rad · 180/π. Ett omløp er 2π.
• Tangens: tan x = sin x / cos x når cos x ≠ 0.

Trigonometriske funksjoner og graftransformasjoner

• Sinusmodell: f(x) = A sin(b(x − c)) + d. Tilsvarende for cosinus.
• Amplitude |A|, periode T = 2π/|b|, likevektslinje y = d.
• Maksimum og minimum: y_max = d + |A| og y_min = d − |A|.
• Frekvens og vinkelfrekvens: f = 1/T og ω = 2π/T.

Trigonometriske identiteter, likninger og modeller

• Grunnidentiteten: sin²x + cos²x = 1.
• Addisjonsformler: sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v, cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v, cos(u − v) = cos u cos v + sin u sin v.
• Dobbel vinkel: sin 2x = 2 sin x cos x og cos 2x = cos²x − sin²x.
• Hjelpevinkel: a sin x + b cos x = R sin(x + φ) med R = √(a² + b²).
• Generell løsning: x = x_0 + 2πn.

Vektorer i planet og rommet

• Lengde: |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²). Enhetsvektor: v/|v|.
• Vektor mellom punkter: AB = B − A. Midtpunkt: M = (A + B)/2.
• Vektoraddisjon: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Skalarmultiplikasjon: k·v.

Skalarprodukt, vinkler og projeksjon

• Skalarprodukt: a · b = |a||b| cos θ, og cos θ = (a · b)/(|a||b|). Ortogonale vektorer har a · b = 0.
• Projeksjon: proj_b a = ((a · b)/|b|²) · b.
• Kryssprodukt: a × b står vinkelrett på begge. Areal av parallellogram |a × b|, areal av trekant ½ |a × b|.

Linjer og plan i rommet

• Linje: r = r_0 + t·v. Plan: r = r_0 + s·u + t·v, eller ax + by + cz = d.
• Punkt-normal-form: n · (r − r_0) = 0, der n er normalvektoren.
• Avstand fra punkt til plan: d = |ax_0 + by_0 + cz_0 − d| / √(a² + b² + c²).
• Skjæring linje–plan: sett linjen inn i planlikningen og løs for t.

Avstander og kuleflater

• Kule: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r².
• Avstand punkt–linje: d(P, L) = |AP × v| / |v|.
• Avstand mellom vindskjeve linjer: d = |(B − A) · (u × v)| / |u × v|.
• Tangentplan til kule: radiusen fra sentrum til tangeringspunktet er normalvektor.

Integrasjon og fundamentalteoremet

• Analysens fundamentalteorem: ∫ fra a til b av f(x) dx = F(b) − F(a), der F er en antiderivert med F' = f.
• Potensregelen: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n + 1) + C for n ≠ −1.
• Standardintegraler: ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C.
• Riemannsum: Σ f(x_i)·Δx tilnærmer integralet.

Integrasjonsmetoder

• Substitusjon: u = g(x) bytter variabel for å forenkle integranden.
• Delvis integrasjon: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
• Delbrøkoppspalting: P(x)/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b). Polynomdivisjon P = S·Q + R først når tellerens grad er minst nevnerens.

Numerisk integrasjon og programmering

• Steglengde: h = (b − a)/n.
• Midtpunktmetoden: M_n = h · Σ f(a + (i − ½)h).
• Feil: absolutt feil |I − I_n|, relativ feil |I − I_n| / |I|.

Bruk av bestemte integraler

• Areal mellom grafer: A = ∫ (f − g) dx over intervallet.
• Gjennomsnittsverdi: f_avg = 1/(b − a) · ∫ f(x) dx.
• Buelengde: L = ∫ √(1 + (f'(x))²) dx.
• Nettoendring fra rate: Q(b) − Q(a) = ∫ Q'(t) dt. Tilbakelagt strekning: s = ∫ |v(t)| dt. Arbeid: W = ∫ F(x) dx.

Omdreiningslegemer

• Skivemetoden: V = π ∫ R(x)² dx. Med hull: V = π ∫ (R² − r²) dx.
• Sylinderskallmetoden: V = 2π ∫ x·f(x) dx.
• Overflateareal ved rotasjon: S = 2π ∫ f(x)·√(1 + (f'(x))²) dx.

Reelle datasett, regresjon og modellvalg

• Modeller: lineær y = ax + b, eksponentiell y = a·b^x eller y = A·e^(kt).
• Residual: e_i = y_i − ŷ_i. Sum av kvadrerte residualer SSE = Σ (y_i − ŷ_i)². RMSE = √(SSE/n).
• Forklaringsgrad: R² er andelen variasjon modellen forklarer.

Analyse og tolkning av matematiske modeller

• Tangent og lineær approksimasjon: y = f(a) + f'(a)(x − a).
• Monotoni: f'(x) > 0 gir vekst, f'(x) < 0 gir avtak. Kritisk punkt der f'(x) = 0.
• Krumning: f''(x) > 0 konveks, f''(x) < 0 konkav, vendepunkt der f''(x) = 0. Andrederiverttesten klassifiserer stasjonære punkter.
• Elastisitet: E = x·f'(x)/f(x).

Vekstmodeller og differensiallikninger

• Differensiallikning: y' = f(t, y) med initialbetingelse y(t_0) = y_0.
• Lineær vekstmodell: y' = ay + b har løsning y(t) = C·e^(at) − b/a, med likevekt −b/a.
• Logistisk vekst: y' = r·y(1 − y/K) med bæreevne K og løsning y(t) = K/(1 + A·e^(−rt)).
• Eulers metode: y_(n+1) = y_n + h·f(t_n, y_n).
• Newtons avkjølingslov: T' = −k(T − T_omg).

Frie svingninger og periodiske modeller

• Hookes lov: F = −ks. Harmonisk svingning: s'' + ω_0²·s = 0 med egenfrekvens ω_0 = √(k/m).
• Udempet løsning: s(t) = A cos(ω_0 t) + B sin(ω_0 t). Periode T = 2π/ω, frekvens f = 1/T.
• Underdempet løsning: s(t) = e^(−qt/2m)·(A cos(ω_d t) + B sin(ω_d t)) med ω_d = √(k/m − (q/2m)²). Kritisk demping når q² = 4mk.
• Mekanisk energi: E = ½ m v² + ½ k s².

Videre i Matematikk R2

• Matematikk R2 – oversikt
• Begrepsbank
• Metodebank
• Symboler og notasjon
• Skriftlig eksamen
• R2 oppgaver