Vektorer i planet

En vektor er en pil: den har både lengde og retning. Vektorer brukes til å beskrive forflytning, fart og kraft. I dette kapittelet lærer du å skrive vektorer på koordinatform, regne med dem og finne lengden — grunnlaget for vektorregning videre i R1 og R2.

7.1 Hva er en vektor?

En vektor \(\vec{a}\) har en lengde og en retning, men ikke en fast plassering — den kan flyttes parallelt uten å endre seg. Den tegnes som en pil.

Vektoren \(\vec{a}=[4,3]\): 4 til høyre og 3 opp. Koordinatform

En vektor skrives \(\vec{a}=[x,\ y]\), der \(x\) er forflytningen i \(x\)-retning og \(y\) i \(y\)-retning.

Eksempel 1 — vektor mellom to punkter

Vektoren fra \(A(1,2)\) til \(B(5,4)\) er \(\vec{AB}=[5-1,\ 4-2]=[4,2]\) (slutt minus start).

✍ Prøv selv

Finn \(\vec{PQ}\) når \(P(2,-1)\) og \(Q(6,3)\).

Vis løsning

\([6-2,\ 3-(-1)]=[4,4]\).

7.2 Regning med vektorer

Du legger sammen og trekker fra vektorer komponentvis, og ganger med et tall ved å gange begge komponentene.

Regel

\([a,b]+[c,d]=[a+c,\ b+d]\), \(\quad [a,b]-[c,d]=[a-c,\ b-d]\), \(\quad k\cdot[a,b]=[ka,\ kb]\).

Sum: legg \(\vec v\) etter \(\vec u\) (hode mot hale); \(\vec u+\vec v\) går fra start til slutt. Eksempel 2

\(\vec u=[3,1]\) og \(\vec v=[1,4]\).

\(\vec u+\vec v=[3+1,\ 1+4]=[4,5]\). \(2\vec u=[6,2]\); \(\quad\vec u-\vec v=[2,-3]\). ✍ Prøv selv

\(\vec a=[2,5],\ \vec b=[-1,3]\). Finn \(\vec a+\vec b\) og \(3\vec a\).

Vis løsning

\([1,8]\) og \([6,15]\).

7.3 Lengden av en vektor

Lengden (eller tallverdien) til \(\vec{a}=[x,y]\) finner du med Pytagoras — komponentene er jo katetene i en rettvinklet trekant.

Regel

\[|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Eksempel 3

\(\vec a=[4,3]\Rightarrow |\vec a|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\).

✍ Prøv selv

Finn lengden av \(\vec b=[6,8]\) og \(\vec c=[-3,4]\).

Vis løsning

\(|\vec b|=\sqrt{100}=10\); \(|\vec c|=\sqrt{9+16}=5\).

📌 Sammendrag

• En vektor har lengde og retning; koordinatform \(\vec a=[x,y]\).
• Vektor mellom punkter: slutt minus start.
• Regning skjer komponentvis; \(k[a,b]=[ka,kb]\).
• Lengde: \(|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}\).

🧪 Test deg selv

1. \(\vec{AB}\) når \(A(0,0),B(3,4)\)? Svar \([3,4]\).
2. \([2,1]+[5,-3]\)? Svar \([7,-2]\).
3. \(4\cdot[1,-2]\)? Svar \([4,-8]\).
4. \(|[5,12]|\)? Svar 13.
5. \(\vec u-\vec v\) når \(\vec u=[7,2],\vec v=[3,5]\)? Svar \([4,-3]\).