Vektorer i planet beskriver størrelser med både lengde og retning. I 1T regner vi med koordinatform, sum, differanse, skalarprodukt og lengde.
Kapittel 7: Vektorer i planet
📚 Kompetansemål (LK20)
I dette kapittelet skal vi arbeide med følgende mål fra læreplanen i Matematikk 1T:
- Definere og bruke vektorer i planet, både geometrisk og på koordinatform.
- Regne med addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon av vektorer.
- Bruke vektorer til å beskrive og beregne geometriske egenskaper i figurer i planet.
- Utforske og løse problemer knyttet til parallelle vektorer og kombinasjoner av vektorer.
- Bruke digitale verktøy til å visualisere og løse vektorproblemer.
Innholdsfortegnelse
- Hva er en vektor?
- Geometriske vektorer og operasjoner
- Vektorer i koordinatsystemet
- Regneregler for koordinater
- Lengden av en vektor
- Parallelle vektorer
- Vektorregning i geometri
- Oppsummering
- Oppgavebank
1. Hva er en vektor?
I matematikken skiller vi mellom skalarer og vektorer. En skalar er en størrelse som bare har en verdi (et tall), slik som temperatur, masse eller tid. En vektor er derimot en størrelse som har både en størrelse (lengde) og en retning.
Eksempler på vektorer i den virkelige verden er:
- Hastighet: En bil kjører i 80 km/t (størrelse) mot nord (retning).
- Kraft: Du dytter en boks med en bestemt styrke i en bestemt retning.
- Forskyvning: Du starter i punkt A og flytter deg til punkt B.
Definition: En vektor tegnes som en pil. Startpunktet kalles for fotpunktet, og endepunktet markeres med en pilspiss. Vi skriver gjerne en vektor som $\vec{v}$ eller $\vec{AB}$ dersom den går fra punkt $A$ til punkt $B$.
To vektorer regnes som like dersom de har nøyaktig samme lengde og nøyaktig samme retning. Det spiller ingen rolle hvor i planet de er plassert. Vi sier at vektorer er frie.
2. Geometriske vektorer og operasjoner
Når vi jobber med vektorer uten et koordinatsystem, fokuserer vi på deres geometriske egenskaper. Vi kan addere (legge sammen), subtrahere (trekke fra) og multiplisere en vektor med et tall.
Addisjon av vektorer
For å finne summen av to vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$, plasserer vi fotpunktet til $\vec{v}$ i endepunktet til $\vec{u}$. Sumvektoren $\vec{u} + \vec{v}$ er da vektoren som går fra fotpunktet til $\vec{u}$ til endepunktet til $\vec{v}$. Dette kalles trekantregelen.
Alternativt kan vi bruke parallellogramregelen: Vi legger begge vektorene ut fra samme punkt. Summen blir da diagonalen i parallellogrammet de to vektorene danner.
✏️ Eksempel 1: Geometrisk sum
Gitt to vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$. Tegn summen $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.
Løsning: …