Vektorer i planet beskriver størrelser med både lengde og retning. I 1T regner vi med koordinatform, sum, differanse, skalarprodukt og lengde.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
En vektor er en pil: den har både lengde og retning. Vektorer brukes til å beskrive forflytning, fart og kraft. I dette kapittelet lærer du å skrive vektorer på koordinatform, regne med dem og finne lengden — grunnlaget for vektorregning videre i R1 og R2.
7.1 Hva er en vektor?
En vektor \(\vec{a}\) har en lengde og en retning, men ikke en fast plassering — den kan flyttes parallelt uten å endre seg. Den tegnes som en pil.
Vektoren \(\vec{a}=[4,3]\): 4 til høyre og 3 opp. Koordinatform
En vektor skrives \(\vec{a}=[x,\ y]\), der \(x\) er forflytningen i \(x\)-retning og \(y\) i \(y\)-retning.
Eksempel 1 — vektor mellom to punkter
Vektoren fra \(A(1,2)\) til \(B(5,4)\) er \(\vec{AB}=[5-1,\ 4-2]=[4,2]\) (slutt minus start).
✍ Prøv selv
Finn \(\vec{PQ}\) når \(P(2,-1)\) og \(Q(6,3)\).
Vis løsning
\([6-2,\ 3-(-1)]=[4,4]\).
7.2 Regning med vektorer
Du legger sammen og trekker fra vektorer komponentvis, og ganger med et tall ved å gange begge komponentene.
Regel
\([a,b]+[c,d]=[a+c,\ b+d]\), \(\quad [a,b]-[c,d]=[a-c,\ b-d]\), \(\quad k\cdot[a,b]=[ka,\ kb]\).
Sum: legg \(\vec v\) etter \(\vec u\) (hode mot hale); \(\vec u+\vec v\) går fra start til slutt. Eksempel 2
\(\vec u=[3,1]\) og \(\vec v=[1,4]\).
\(\vec u+\vec v=[3+1,\ 1+4]=[4,5]\). \(2\vec u=[6,2]\); \(\quad\vec u-\vec v=[2,-3]\). ✍ Prøv selv
\(\vec a=[2,5],\ \vec b=[-1,3]\). Finn \(\vec a+\vec b\) og \(3\vec a\).
Vis løsning
\([1,8]\) og \([6,15]\).
7.3 Lengden av en vektor
Lengden (eller tallverdien) til \(\vec{a}=[x,y]\) finner du med Pytagoras — komponentene er jo katetene i en rettvinklet trekant.
Regel
\[|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Eksempel 3
\(\vec a=[4,3]\Rightarrow |\vec a|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\).
✍ Prøv selv
Finn lengden av \(\vec b=[6,8]\) og \(\vec c=[-3,4]\). …