Trigonometri

Trigonometri knytter vinkler til sidelengder i rettvinklede trekanter. Med sinus, cosinus og tangens kan du finne en side du ikke får målt — høyden på et tre, bredden på en elv, eller vinkelen en stige danner med bakken. Det er geometri satt i system.

6.1 Sinus, cosinus og tangens

I en rettvinklet trekant får hver spiss vinkel \(v\) tre forhold mellom sidene. Vi navngir sidene sett fra vinkelen \(v\): hypotenusen (lengst, motsatt rett vinkel), den motstående kateten (rett overfor \(v\)) og den hosliggende kateten (inntil \(v\)).

Sidene navngis sett fra vinkelen \(v\). Definisjon — SOH · CAH · TOA

\[\sin v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\qquad \cos v=\dfrac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\qquad \tan v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\]

Eksempel 1 — regn ut et forhold

En trekant har motstående katet 3, hosliggende 4 og hypotenus 5 (sett fra \(v\)). Da er \(\sin v=\tfrac35=0{,}6\), \(\cos v=\tfrac45=0{,}8\), \(\tan v=\tfrac34=0{,}75\).

✍ Prøv selv

Motstående 5, hosliggende 12, hypotenus 13. Finn \(\sin v\) og \(\tan v\).

Vis løsning

\(\sin v=\tfrac{5}{13}\approx0{,}385\); \(\tan v=\tfrac{5}{12}\approx0{,}417\).

6.2 Finne en ukjent side

Kjenner du en vinkel og en side, velger du det forholdet som inneholder både den kjente og den ukjente siden.

Eksempel 2

En stige på 6 m danner \(65^\circ\) med bakken. Hvor høyt opp på veggen når den (motstående katet)?

\(\sin65^\circ=\dfrac{h}{6}\Rightarrow h=6\cdot\sin65^\circ\). \(h\approx6\cdot0{,}906=5{,}4\) m. Eksempel 3

Hosliggende katet er 10, vinkel \(v=40^\circ\). Finn hypotenusen \(c\).

\(\cos40^\circ=\dfrac{10}{c}\Rightarrow c=\dfrac{10}{\cos40^\circ}\approx\dfrac{10}{0{,}766}\approx13{,}1\). ⚠ Vanlig feil

Sjekk at kalkulatoren står i grader (DEG), ikke radianer. Og velg riktig forhold: har du hypotenus og motstående, bruk sinus.

✍ Prøv selv

Vinkel \(30^\circ\), hypotenus 8. Finn motstående katet.

Vis løsning

\(\sin30^\circ=\tfrac{m}{8}\Rightarrow m=8\cdot0{,}5=4\).

6.3 Finne en ukjent vinkel

Kjenner du to sider, finner du vinkelen med de omvendte funksjonene \(\sin^{-1},\ \cos^{-1},\ \tan^{-1}\) (på kalkulatoren ofte merket «shift sin»).

Eksempel 4

Motstående 3, hypotenus 6. Finn \(v\).

\(\sin v=\tfrac36=0{,}5\). \(v=\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ\). ✍ Prøv selv

Hosliggende 4, hypotenus 8. Finn \(v\).

Vis løsning

\(\cos v=0{,}5\Rightarrow v=60^\circ\).

📌 Sammendrag

• \(\sin v=\dfrac{\text{mots.}}{\text{hyp.}}\), \(\cos v=\dfrac{\text{hosl.}}{\text{hyp.}}\), \(\tan v=\dfrac{\text{mots.}}{\text{hosl.}}\) (SOH-CAH-TOA).
• Finn side: velg forholdet med den kjente og den ukjente siden.
• Finn vinkel: bruk \(\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}\).
• Ha kalkulatoren i grader (DEG).

🧪 Test deg selv

1. \(\sin v\) når mots.=8, hyp.=17? Svar \(\tfrac{8}{17}\approx0{,}47\).
2. Motstående katet ved \(v=45^\circ\), hyp.=10? Svar \(10\sin45^\circ\approx7{,}07\).
3. \(v\) når \(\tan v=1\)? Svar \(45^\circ\).
4. Hypotenus når hosl.=6, \(v=60^\circ\)? Svar \(6/\cos60^\circ=12\).