Trigonometri i 1T utvider rettvinklet trekant til vilkårlige trekanter via sinus- og cosinussetningen, og introduserer enhetssirkelen for vinkler over 90°.
Trigonometri i 1T
📚 Læreplanmål i LK20
Målet med dette kapittelet er at du skal kunne:
- Definere sinus, cosinus og tangens til vinkler i rettvinklede trekanter og anvende disse til å regne ut lengder og vinkler.
- Bruke enhetssirkelen for å definere trigonometriske funksjoner for vinkler fra $0^\circ$ til $180^\circ$.
- Utlede og bruke arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen i vilkårlige trekanter.
- Løse praktiske og teoretiske problemer knyttet til geometri og trigonometri.
Innhold
- Trigonometri i rettvinklede trekanter
- Enhetssirkelen og utvidede definisjoner
- Eksakte verdier for kjente vinkler
- Arealsetningen
- Sinussetningen
- Cosinussetningen (Setningen om den generelle Pythagoras)
- To mulige løsninger (Det tvetydige tilfellet)
- Oppsummering og formelsamling
- Oppgavebank
1. Trigonometri i rettvinklede trekanter
Ordet trigonometri kommer fra gresk og betyr "trekantmåling". I en rettvinklet trekant har vi faste forhold mellom sidene for en gitt vinkel. Disse forholdene kaller vi sinus, cosinus og tangens. Dette danner grunnlaget for all videre trigonometri.
🔑 Definisjoner i rettvinklet trekant
Gitt en rettvinklet trekant med en vinkel $v$. Vi kaller siden motstående til $v$ for motstående katet, siden ved siden av $v$ for hosliggende katet, og den lengste siden for hypotenus.
- $\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$
- $\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$
- $\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$
✏️ Eksempel 1: Finne en ukjent side
I en rettvinklet trekant $ABC$ er $\angle A = 90^\circ$ og $\angle B = 32^\circ$. Hypotenusen $BC$ er $12,0$ cm lang. Finn lengden av kateten $AC$.
Løsning:
Her kjenner vi vinkel $B$. Siden $AC$ er den motstående kateten til vinkel $B$, og vi kjenner hypotenusen $BC$. Da bruker vi sinus:
$\sin(B) = \frac{AC}{BC}$
Sett inn verdiene:
$\sin(32^\circ) = \frac{AC}{12,0}$
Isolerer $AC$ ved å gange med $12,0$ på begge sider:
$AC = 12,0 \cdot \sin(32^\circ)$
$AC \approx 12,0 \cdot 0,5299 \approx 6,36 \text{ cm}$
Svar: Lengden av siden $AC$ er ca. $6,4$ cm.
✏️ Eksempel 2: Finne en ukjent vinkel
En stige på $5,0$ meter settes opp mot en loddrett vegg. Foten av stigen står $1,5$ meter fra veggen. Hvor stor vinkel danner stigen med bakken?
Løsning:
La vinkelen mellom stigen og bakken være $v$. Stigen er hypotenusen ($5,0$ m) og avstanden fra veggen er den hosliggende kateten ($1,5$ m). Vi bruker cosinus:
$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} = \frac{1,5}{5,0} = 0,3$
For å finne vinkelen må vi bruke den omvendte funksjonen, $\cos^{-1}$ (eller $\arccos$):
$v = \cos^{-1}(0,3) \approx 72,54^\circ$
Svar: Stigen danner en vinkel på ca. $72,5^\circ$ med bakken. …