Trigonometri

Trigonometri i 1T utvider rettvinklet trekant til vilkårlige trekanter via sinus- og cosinussetningen, og introduserer enhetssirkelen for vinkler over 90°.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-31

Trigonometri knytter vinkler til sidelengder i rettvinklede trekanter. Med sinus, cosinus og tangens kan du finne en side du ikke får målt — høyden på et tre, bredden på en elv, eller vinkelen en stige danner med bakken. Det er geometri satt i system.

6.1 Sinus, cosinus og tangens

I en rettvinklet trekant får hver spiss vinkel \(v\) tre forhold mellom sidene. Vi navngir sidene sett fra vinkelen \(v\): hypotenusen (lengst, motsatt rett vinkel), den motstående kateten (rett overfor \(v\)) og den hosliggende kateten (inntil \(v\)).

Sidene navngis sett fra vinkelen \(v\). Definisjon — SOH · CAH · TOA

\[\sin v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\qquad \cos v=\dfrac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\qquad \tan v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\]

Eksempel 1 — regn ut et forhold

En trekant har motstående katet 3, hosliggende 4 og hypotenus 5 (sett fra \(v\)). Da er \(\sin v=\tfrac35=0{,}6\), \(\cos v=\tfrac45=0{,}8\), \(\tan v=\tfrac34=0{,}75\).

✍ Prøv selv

Motstående 5, hosliggende 12, hypotenus 13. Finn \(\sin v\) og \(\tan v\).

Vis løsning

\(\sin v=\tfrac{5}{13}\approx0{,}385\); \(\tan v=\tfrac{5}{12}\approx0{,}417\).

6.2 Finne en ukjent side

Kjenner du en vinkel og en side, velger du det forholdet som inneholder både den kjente og den ukjente siden.

Eksempel 2

En stige på 6 m danner \(65^\circ\) med bakken. Hvor høyt opp på veggen når den (motstående katet)?

\(\sin65^\circ=\dfrac{h}{6}\Rightarrow h=6\cdot\sin65^\circ\). \(h\approx6\cdot0{,}906=5{,}4\) m. Eksempel 3

Hosliggende katet er 10, vinkel \(v=40^\circ\). Finn hypotenusen \(c\).

\(\cos40^\circ=\dfrac{10}{c}\Rightarrow c=\dfrac{10}{\cos40^\circ}\approx\dfrac{10}{0{,}766}\approx13{,}1\). ⚠ Vanlig feil

Sjekk at kalkulatoren står i grader (DEG), ikke radianer. Og velg riktig forhold: har du hypotenus og motstående, bruk sinus.

✍ Prøv selv

Vinkel \(30^\circ\), hypotenus 8. Finn motstående katet.

Vis løsning

\(\sin30^\circ=\tfrac{m}{8}\Rightarrow m=8\cdot0{,}5=4\).

6.3 Finne en ukjent vinkel

Kjenner du to sider, finner du vinkelen med de omvendte funksjonene \(\sin^{-1},\ \cos^{-1},\ \tan^{-1}\) (på kalkulatoren ofte merket «shift sin»).

Eksempel 4

Motstående 3, hypotenus 6. Finn \(v\).

\(\sin v=\tfrac36=0{,}5\). \(v=\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ\). ✍ Prøv selv

Hosliggende 4, hypotenus 8. Finn \(v\).

Vis løsning

\(\cos v=0{,}5\Rightarrow v=60^\circ\).

📌 Sammendrag

\(\sin v=\dfrac{\text{mots.}}{\text{hyp.}}\), \(\cos v=\dfrac{\text{hosl.}}{\text{hyp.}}\), \(\tan v=\dfrac{\text{mots.}}{\text{hosl.}}\) (SOH-CAH-TOA).
Finn side: velg forholdet med den kjente og den ukjente siden.
Finn vinkel: bruk \(\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}\).
Ha kalkulatoren i grader (DEG).

🧪 Test deg selv

\(\sin v\) når mots.=8, hyp.=17? Svar \(\tfrac{8}{17}\approx0{,}47\).
Motstående katet ved \(v=45^\circ\), hyp.=10? Svar \(10\sin45^\circ\approx7{,}07\).
\(v\) når \(\tan v=1\)? Svar \(45^\circ\).
Hypotenus når hosl.=6, \(v=60^\circ\)? Svar \(6/\cos60^\circ=12\).

Åpen undervisning · full fasit

Trigonometri – komplett undervisning

Lær å velge sinus, cosinus, tangens, arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen fra figuren, og kontroller grader, radianer og SSA.

Start alltid med figuren. Marker vinkelen du arbeider med, skriv hvilke sider du kjenner, og bestem hvilken relasjon som faktisk inneholder størrelsene du trenger. Trigonometri blir trygg når metodevalget kommer før tallene.

1. Rettvinklet trekant: identifiser sidene riktig

Relativt til en valgt spiss vinkel har trekanten én motstående katet, én hosliggende katet og én hypotenus. Hypotenusen ligger alltid mot den rette vinkelen.

Relasjon	Formel	Bruk når
Sinus	`sin v = motstående / hypotenus`	Motstående og hypotenus er relevante.
Cosinus	`cos v = hosliggende / hypotenus`	Hosliggende og hypotenus er relevante.
Tangens	`tan v = motstående / hosliggende`	De to katetene er relevante.

Eksempel 1: Finn en katet med sinus

En rettvinklet trekant har hypotenus 10 cm og en vinkel på 30°. Finn motstående katet.

Steg 1: Vi kjenner hypotenusen og søker motstående katet, derfor passer sinus.
Steg 2: sin 30° = a/10.
Steg 3: a = 10·sin 30° = 10·0,5 = 5.

Svar: Kateten er 5 cm.

Eksempel 2: Finn en vinkel med tangens

Motstående katet er 6 cm og hosliggende katet er 8 cm. Finn vinkelen v.

Steg 1: Vi kjenner begge katetene, så tan v = 6/8 = 0,75.
Steg 2: Bruk invers tangens: v = arctan(0,75).
Steg 3: v ≈ 36,9°.

Svar: Vinkelen er omtrent 36,9°.

2. Velg relasjon etter opplysningene

Ikke velg sinus, cosinus eller tangens fra hukommelse alene. Spør først: Hvilke sider inngår? Hvis hypotenusen ikke er med, er tangens ofte aktuell. Hvis hypotenusen er med, velger du mellom sinus og cosinus ut fra om den andre siden er motstående eller hosliggende.

Eksempel 3: Finn hosliggende katet med cosinus

Hypotenusen er 14 m og vinkelen 40°. Finn hosliggende katet.

Steg 1: Hosliggende og hypotenus peker på cosinus.
Steg 2: cos 40° = b/14.
Steg 3: b = 14·cos 40° ≈ 10,7.

Svar: Hosliggende katet er omtrent 10,7 m.

3. Arealsetningen i vilkårlige trekanter

Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, kan du bruke A = (1/2)ab sin C. Vinkelen må være den mellomliggende vinkelen mellom sidene a og b.

Eksempel 4: Arealsetningen

To sider er 7 cm og 10 cm, og vinkelen mellom dem er 50°. Finn arealet.

Steg 1: Bruk A=(1/2)ab sin C.
Steg 2: A=(1/2)·7·10·sin 50°.
Steg 3: A≈35·0,766≈26,8.

Svar: Arealet er omtrent 26,8 cm².

4. Sinussetningen: side–vinkel-par

Sinussetningen kan skrives a/sin A = b/sin B = c/sin C. Den er spesielt nyttig når du kjenner et komplett side–vinkel-par og minst én annen side eller vinkel.

Eksempel 5: Finn en side med sinussetningen

I en trekant er A=40°, B=65° og a=8 cm. Finn b.

Steg 1: Bruk paret a=8 og A=40°.
Steg 2: b/sin 65° = 8/sin 40°.
Steg 3: b = 8·sin 65°/sin 40° ≈ 11,3.

Svar: b≈11,3 cm.

5. SSA-tilfellet: noen ganger finnes to trekanter

Når du bruker sinussetningen med to sider og en ikke-mellomliggende vinkel, kan en beregnet sinusverdi svare til to vinkler: B og 180°−B. Begge må testes mot trekantens vinkelsum.

Eksempel 6: Kontroller mulig ekstra trekant

Anta A=30°, a=5 og b=8. Finn mulige vinkler B.

Steg 1: sin B / 8 = sin 30° / 5.
Steg 2: sin B = 8·0,5/5 = 0,8.
Steg 3: Første løsning er B₁≈53,1°.
Steg 4: Andre mulig vinkel er B₂=180°−53,1°≈126,9°.
Steg 5: Begge gir sammen med A=30° en sum under 180°, så begge trekantene er mulige.

Svar: B≈53,1° eller B≈126,9°.

6. Cosinussetningen: to sider og mellomliggende vinkel

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras: c²=a²+b²−2ab cos C. Den er særlig nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider og skal finne en vinkel.

Eksempel 7: Finn en side med cosinussetningen

a=7, b=9 og C=60°. Finn c.

Steg 1: c²=7²+9²−2·7·9·cos60°.
Steg 2: c²=49+81−126·0,5=67.
Steg 3: c=√67≈8,19.

Svar: c≈8,19.

Eksempel 8: Finn en vinkel med cosinussetningen

Sidene er 5, 6 og 8. Finn vinkelen C mot siden 8.

Steg 1: 8²=5²+6²−2·5·6·cos C.
Steg 2: 64=25+36−60cos C.
Steg 3: 3=−60cos C, så cos C=−0,05.
Steg 4: C=arccos(−0,05)≈92,9°.

Svar: C≈92,9°.

7. Grader og radianer: samme vinkel, ulike enheter

180° = π radianer. Derfor er v_rad = v_grad·π/180 og v_grad = v_rad·180/π. Kalkulatorer og digitale verktøy må stå i riktig vinkelmodus.

Grader	Radianer
30°	`π/6`
45°	`π/4`
60°	`π/3`
90°	`π/2`
180°	`π`

Eksempel 9: Konverter 135° til radianer

Steg 1: 135·π/180.
Steg 2: Forkort 135/180=3/4.

Svar: 135°=3π/4.

8. Digitale verktøy: vinkelmodus må dokumenteres

I Python forventer math.sin, math.cos og math.tan radianer. Bruk math.radians() når inngangen er i grader, og math.degrees() når en invers trigonometrisk funksjon skal rapporteres i grader.

Eksempel 10: Python og grader

Beregn sin 40° korrekt i Python.

Steg 1: Konverter vinkelen: math.radians(40).
Steg 2: Beregn math.sin(math.radians(40)).
Steg 3: Resultatet er omtrent 0,643.

Svar: sin 40°≈0,643.

9. Metodekart for vilkårlige trekanter

Før du setter inn tall, sorter opplysningene. Kjenner du to vinkler og én side, finner du først den tredje vinkelen med vinkelsummen og bruker deretter sinussetningen. Kjenner du to sider og vinkelen mellom dem, er cosinussetningen naturlig for den tredje siden, mens arealsetningen kan gi arealet direkte. Kjenner du alle tre sider og skal finne en vinkel, isolerer du cosinus i cosinussetningen og bruker deretter invers cosinus.

Sinussetningen krever at du kobler hver side til vinkelen som ligger rett mot siden. Et vanlig feilgrep er å pare side a med vinkel B. Skriv derfor alltid parene (a,A), (b,B) og (c,C) ved siden av figuren før du regner. Når du mangler et komplett side–vinkel-par, er sinussetningen som regel ikke første metode.

10. Kontroller svaret geometrisk

Et trigonometrisk svar skal passe med figuren. Den største vinkelen skal ligge mot den lengste siden, og den minste vinkelen mot den korteste siden. En beregnet vinkel må ligge mellom 0° og 180°, og tre vinkler i en trekant må summere til 180°. For sider gjelder trekantulikheten: summen av to sider må være større enn den tredje. Disse kontrollene avslører ofte tastingsfeil, feil vinkelmodus eller feil valgt formel.

Runding bør vente til siste steg. Hvis du runder sinus-, cosinus- eller sideverdier for tidlig, kan sluttresultatet flytte seg unødvendig. Behold derfor flere desimaler underveis og rund først i svaret. Oppgi også enhet for lengde og areal, og skriv eksplisitt hva tallet betyr.

11. Vanlige feil på prøve og eksamen

Feil side i rettvinklet trekant: motstående og hosliggende bestemmes alltid relativt til vinkelen du arbeider med.
Feil vinkel i arealsetningen: vinkelen må ligge mellom de to sidene som brukes i produktet.
SSA uten ekstrasjekk: invers sinus gir bare én hovedverdi; vurder også 180°−v.
Grader og radianer blandes: dokumenter kalkulator- eller Python-modus før du tolker resultatet.
Manglende kontroll: sammenlign sidelengder og vinkler med figuren og bruk vinkelsummen før du konkluderer.

Eksamensverksted: figur → relasjon → beregning → kontroll

Tegn og merk: Skriv inn kjente sider og vinkler.
Velg metode: Rettvinklet trekant → sin/cos/tan. Side–vinkel-par → vurder sinussetningen. To sider + mellomliggende vinkel → cosinussetningen.
Kontroller vinkelmodus: Grader og radianer må ikke blandes.
Vurder flere løsninger: SSA kan gi to trekanter.
Kontroller rimelighet: Lengder må være positive og trekantens vinkler må summere til 180°.
Oppgi enhet og tolkning: Et desimaltall uten kontekst er ikke et komplett svar.

Kontrollstrategier som ofte skiller et sikkert svar fra et tilfeldig svar

Kontroller først geometrien. Den lengste siden skal ligge mot den største vinkelen, og i en rettvinklet trekant må hypotenusen være lengst. Hvis en beregning gir en katet som er lengre enn hypotenusen, eller en vinkel som ikke passer med figuren, bør du gå tilbake til relasjonen du valgte. En rask skisse med tydelige navn på sider og vinkler gjør det lettere å oppdage slike feil før de følger med videre i regningen.

Kontroller deretter metoden. Sinussetningen krever at du kobler riktige side–vinkel-par, mens cosinussetningen ofte er tryggest når du kjenner tre sider eller to sider og vinkelen mellom dem. I SSA-tilfeller skal du alltid vurdere om supplementvinkelen også gir en gyldig trekant. Ved bruk av digitale verktøy bør du dessuten skrive om vinkelen behandles i grader eller radianer. Det viser metodeforståelse og gjør løsningen etterprøvbar.

Til slutt kontrollerer du svaret. Rund av først etter siste regnetrinn, ta med riktig enhet, og vurder om størrelsen er rimelig i sammenhengen. På eksamen er en kort kontroll ofte nok: vinkelsummen skal være 180°, alle lengder skal være positive, og en beregnet verdi bør stemme med størrelsesforholdene i figuren. Denne kontrollen kan fange både tastefeil og feil metodevalg.

Tren selv – med fullstendig fasit

Oppgave 1

Hypotenusen er 12 cm og vinkelen 35°. Finn motstående katet.

Fullstendig fasit

a=12·sin35°≈6,88. Svar: ca. 6,88 cm.

Oppgave 2

Hosliggende katet er 9 cm og hypotenusen 15 cm. Finn vinkelen.

Fullstendig fasit

cos v=9/15=0,6, så v=arccos(0,6)≈53,1°.

Oppgave 3

Finn arealet når to sider er 5 og 8 og mellomliggende vinkel er 40°.

Fullstendig fasit

A=0,5·5·8·sin40°≈12,9.

Oppgave 4

A=50°, a=10, B=70°. Finn b.

Fullstendig fasit

b=10·sin70°/sin50°≈12,3.

Oppgave 5

a=4, b=7, C=80°. Finn c.

Fullstendig fasit

c²=4²+7²−2·4·7·cos80°≈55,3, så c≈7,44.

Oppgave 6

Konverter 225° til radianer.

Fullstendig fasit

225·π/180=5π/4.

Oppgave 7

Hvorfor kan sinussetningen gi to mulige vinkler i et SSA-tilfelle?

Fullstendig fasit

Fordi sin B = sin(180°−B). Begge vinklene må testes mot trekantens øvrige vinkler og sider.

Oppgave 8

Hva er feil med math.sin(30) hvis du mener 30°?

Fullstendig fasit

Python tolker 30 som radianer. Bruk math.sin(math.radians(30)).

Sjekkliste før du går videre

Jeg tegner og merker trekanten før jeg velger formel.
Jeg kan velge mellom sinus, cosinus og tangens ut fra sidene som inngår.
Jeg kan bruke arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen med riktige vilkår.
Jeg kontrollerer SSA-tilfellet for en mulig ekstra trekant.
Jeg kan konvertere mellom grader og radianer.
Jeg dokumenterer vinkelmodus i digitale beregninger.

Veien videre i Matematikk 1T

Neste kapittel er vekstfart og derivasjon. Der går du fra geometriske forhold til hvordan funksjoner endrer seg lokalt. Premiumbanken under kapitlet beholder ekstra oppgaver og progresjon.

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo

Trigonometri

Trigonometri i 1T utvider rettvinklet trekant til vilkårlige trekanter via sinus- og cosinussetningen, og introduserer enhetssirkelen for vinkler over 90°.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-31

6.1 Sinus, cosinus og tangens

Sidene navngis sett fra vinkelen \(v\). Definisjon — SOH · CAH · TOA

\[\sin v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\qquad \cos v=\dfrac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\qquad \tan v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\]

Eksempel 1 — regn ut et forhold

En trekant har motstående katet 3, hosliggende 4 og hypotenus 5 (sett fra \(v\)). Da er \(\sin v=\tfrac35=0{,}6\), \(\cos v=\tfrac45=0{,}8\), \(\tan v=\tfrac34=0{,}75\).

✍ Prøv selv

Motstående 5, hosliggende 12, hypotenus 13. Finn \(\sin v\) og \(\tan v\).

Vis løsning

\(\sin v=\tfrac{5}{13}\approx0{,}385\); \(\tan v=\tfrac{5}{12}\approx0{,}417\).

6.2 Finne en ukjent side

Kjenner du en vinkel og en side, velger du det forholdet som inneholder både den kjente og den ukjente siden.

Eksempel 2

En stige på 6 m danner \(65^\circ\) med bakken. Hvor høyt opp på veggen når den (motstående katet)?

\(\sin65^\circ=\dfrac{h}{6}\Rightarrow h=6\cdot\sin65^\circ\). \(h\approx6\cdot0{,}906=5{,}4\) m. Eksempel 3

Hosliggende katet er 10, vinkel \(v=40^\circ\). Finn hypotenusen \(c\).

\(\cos40^\circ=\dfrac{10}{c}\Rightarrow c=\dfrac{10}{\cos40^\circ}\approx\dfrac{10}{0{,}766}\approx13{,}1\). ⚠ Vanlig feil

Sjekk at kalkulatoren står i grader (DEG), ikke radianer. Og velg riktig forhold: har du hypotenus og motstående, bruk sinus.

✍ Prøv selv

Vinkel \(30^\circ\), hypotenus 8. Finn motstående katet.

Vis løsning

\(\sin30^\circ=\tfrac{m}{8}\Rightarrow m=8\cdot0{,}5=4\).

6.3 Finne en ukjent vinkel

Kjenner du to sider, finner du vinkelen med de omvendte funksjonene \(\sin^{-1},\ \cos^{-1},\ \tan^{-1}\) (på kalkulatoren ofte merket «shift sin»).

Eksempel 4

Motstående 3, hypotenus 6. Finn \(v\).

\(\sin v=\tfrac36=0{,}5\). \(v=\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ\). ✍ Prøv selv

Hosliggende 4, hypotenus 8. Finn \(v\).

Vis løsning

\(\cos v=0{,}5\Rightarrow v=60^\circ\).

📌 Sammendrag

\(\sin v=\dfrac{\text{mots.}}{\text{hyp.}}\), \(\cos v=\dfrac{\text{hosl.}}{\text{hyp.}}\), \(\tan v=\dfrac{\text{mots.}}{\text{hosl.}}\) (SOH-CAH-TOA).
Finn side: velg forholdet med den kjente og den ukjente siden.
Finn vinkel: bruk \(\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}\).
Ha kalkulatoren i grader (DEG).

🧪 Test deg selv

\(\sin v\) når mots.=8, hyp.=17? Svar \(\tfrac{8}{17}\approx0{,}47\).
Motstående katet ved \(v=45^\circ\), hyp.=10? Svar \(10\sin45^\circ\approx7{,}07\).
\(v\) når \(\tan v=1\)? Svar \(45^\circ\).
Hypotenus når hosl.=6, \(v=60^\circ\)? Svar \(6/\cos60^\circ=12\).

Åpen undervisning · full fasit

Trigonometri – komplett undervisning

Lær å velge sinus, cosinus, tangens, arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen fra figuren, og kontroller grader, radianer og SSA.

1. Rettvinklet trekant: identifiser sidene riktig

Relativt til en valgt spiss vinkel har trekanten én motstående katet, én hosliggende katet og én hypotenus. Hypotenusen ligger alltid mot den rette vinkelen.

Relasjon	Formel	Bruk når
Sinus	`sin v = motstående / hypotenus`	Motstående og hypotenus er relevante.
Cosinus	`cos v = hosliggende / hypotenus`	Hosliggende og hypotenus er relevante.
Tangens	`tan v = motstående / hosliggende`	De to katetene er relevante.

Eksempel 1: Finn en katet med sinus

En rettvinklet trekant har hypotenus 10 cm og en vinkel på 30°. Finn motstående katet.

Steg 1: Vi kjenner hypotenusen og søker motstående katet, derfor passer sinus.
Steg 2: sin 30° = a/10.
Steg 3: a = 10·sin 30° = 10·0,5 = 5.

Svar: Kateten er 5 cm.

Eksempel 2: Finn en vinkel med tangens

Motstående katet er 6 cm og hosliggende katet er 8 cm. Finn vinkelen v.

Steg 1: Vi kjenner begge katetene, så tan v = 6/8 = 0,75.
Steg 2: Bruk invers tangens: v = arctan(0,75).
Steg 3: v ≈ 36,9°.

Svar: Vinkelen er omtrent 36,9°.

2. Velg relasjon etter opplysningene

Eksempel 3: Finn hosliggende katet med cosinus

Hypotenusen er 14 m og vinkelen 40°. Finn hosliggende katet.

Steg 1: Hosliggende og hypotenus peker på cosinus.
Steg 2: cos 40° = b/14.
Steg 3: b = 14·cos 40° ≈ 10,7.

Svar: Hosliggende katet er omtrent 10,7 m.

3. Arealsetningen i vilkårlige trekanter

Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, kan du bruke A = (1/2)ab sin C. Vinkelen må være den mellomliggende vinkelen mellom sidene a og b.

Eksempel 4: Arealsetningen

To sider er 7 cm og 10 cm, og vinkelen mellom dem er 50°. Finn arealet.

Steg 1: Bruk A=(1/2)ab sin C.
Steg 2: A=(1/2)·7·10·sin 50°.
Steg 3: A≈35·0,766≈26,8.

Svar: Arealet er omtrent 26,8 cm².

4. Sinussetningen: side–vinkel-par

Sinussetningen kan skrives a/sin A = b/sin B = c/sin C. Den er spesielt nyttig når du kjenner et komplett side–vinkel-par og minst én annen side eller vinkel.

Eksempel 5: Finn en side med sinussetningen

I en trekant er A=40°, B=65° og a=8 cm. Finn b.

Steg 1: Bruk paret a=8 og A=40°.
Steg 2: b/sin 65° = 8/sin 40°.
Steg 3: b = 8·sin 65°/sin 40° ≈ 11,3.

Svar: b≈11,3 cm.

5. SSA-tilfellet: noen ganger finnes to trekanter

Når du bruker sinussetningen med to sider og en ikke-mellomliggende vinkel, kan en beregnet sinusverdi svare til to vinkler: B og 180°−B. Begge må testes mot trekantens vinkelsum.

Eksempel 6: Kontroller mulig ekstra trekant

Anta A=30°, a=5 og b=8. Finn mulige vinkler B.

Steg 1: sin B / 8 = sin 30° / 5.
Steg 2: sin B = 8·0,5/5 = 0,8.
Steg 3: Første løsning er B₁≈53,1°.
Steg 4: Andre mulig vinkel er B₂=180°−53,1°≈126,9°.
Steg 5: Begge gir sammen med A=30° en sum under 180°, så begge trekantene er mulige.

Svar: B≈53,1° eller B≈126,9°.

6. Cosinussetningen: to sider og mellomliggende vinkel

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras: c²=a²+b²−2ab cos C. Den er særlig nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider og skal finne en vinkel.

Eksempel 7: Finn en side med cosinussetningen

a=7, b=9 og C=60°. Finn c.

Steg 1: c²=7²+9²−2·7·9·cos60°.
Steg 2: c²=49+81−126·0,5=67.
Steg 3: c=√67≈8,19.

Svar: c≈8,19.

Eksempel 8: Finn en vinkel med cosinussetningen

Sidene er 5, 6 og 8. Finn vinkelen C mot siden 8.

Steg 1: 8²=5²+6²−2·5·6·cos C.
Steg 2: 64=25+36−60cos C.
Steg 3: 3=−60cos C, så cos C=−0,05.
Steg 4: C=arccos(−0,05)≈92,9°.

Svar: C≈92,9°.

7. Grader og radianer: samme vinkel, ulike enheter

180° = π radianer. Derfor er v_rad = v_grad·π/180 og v_grad = v_rad·180/π. Kalkulatorer og digitale verktøy må stå i riktig vinkelmodus.

Grader	Radianer
30°	`π/6`
45°	`π/4`
60°	`π/3`
90°	`π/2`
180°	`π`

Eksempel 9: Konverter 135° til radianer

Steg 1: 135·π/180.
Steg 2: Forkort 135/180=3/4.

Svar: 135°=3π/4.

8. Digitale verktøy: vinkelmodus må dokumenteres

Eksempel 10: Python og grader

Beregn sin 40° korrekt i Python.

Steg 1: Konverter vinkelen: math.radians(40).
Steg 2: Beregn math.sin(math.radians(40)).
Steg 3: Resultatet er omtrent 0,643.

Svar: sin 40°≈0,643.

9. Metodekart for vilkårlige trekanter

10. Kontroller svaret geometrisk

11. Vanlige feil på prøve og eksamen

Feil side i rettvinklet trekant: motstående og hosliggende bestemmes alltid relativt til vinkelen du arbeider med.
Feil vinkel i arealsetningen: vinkelen må ligge mellom de to sidene som brukes i produktet.
SSA uten ekstrasjekk: invers sinus gir bare én hovedverdi; vurder også 180°−v.
Grader og radianer blandes: dokumenter kalkulator- eller Python-modus før du tolker resultatet.
Manglende kontroll: sammenlign sidelengder og vinkler med figuren og bruk vinkelsummen før du konkluderer.

Eksamensverksted: figur → relasjon → beregning → kontroll

Tegn og merk: Skriv inn kjente sider og vinkler.
Velg metode: Rettvinklet trekant → sin/cos/tan. Side–vinkel-par → vurder sinussetningen. To sider + mellomliggende vinkel → cosinussetningen.
Kontroller vinkelmodus: Grader og radianer må ikke blandes.
Vurder flere løsninger: SSA kan gi to trekanter.
Kontroller rimelighet: Lengder må være positive og trekantens vinkler må summere til 180°.
Oppgi enhet og tolkning: Et desimaltall uten kontekst er ikke et komplett svar.

Kontrollstrategier som ofte skiller et sikkert svar fra et tilfeldig svar

Tren selv – med fullstendig fasit

Oppgave 1

Hypotenusen er 12 cm og vinkelen 35°. Finn motstående katet.

Fullstendig fasit

a=12·sin35°≈6,88. Svar: ca. 6,88 cm.

Oppgave 2

Hosliggende katet er 9 cm og hypotenusen 15 cm. Finn vinkelen.

Fullstendig fasit

cos v=9/15=0,6, så v=arccos(0,6)≈53,1°.

Oppgave 3

Finn arealet når to sider er 5 og 8 og mellomliggende vinkel er 40°.

Fullstendig fasit

A=0,5·5·8·sin40°≈12,9.

Oppgave 4

A=50°, a=10, B=70°. Finn b.

Fullstendig fasit

b=10·sin70°/sin50°≈12,3.

Oppgave 5

a=4, b=7, C=80°. Finn c.

Fullstendig fasit

c²=4²+7²−2·4·7·cos80°≈55,3, så c≈7,44.

Oppgave 6

Konverter 225° til radianer.

Fullstendig fasit

225·π/180=5π/4.

Oppgave 7

Hvorfor kan sinussetningen gi to mulige vinkler i et SSA-tilfelle?

Fullstendig fasit

Fordi sin B = sin(180°−B). Begge vinklene må testes mot trekantens øvrige vinkler og sider.

Oppgave 8

Hva er feil med math.sin(30) hvis du mener 30°?

Fullstendig fasit

Python tolker 30 som radianer. Bruk math.sin(math.radians(30)).

Sjekkliste før du går videre

Jeg tegner og merker trekanten før jeg velger formel.
Jeg kan velge mellom sinus, cosinus og tangens ut fra sidene som inngår.
Jeg kan bruke arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen med riktige vilkår.
Jeg kontrollerer SSA-tilfellet for en mulig ekstra trekant.
Jeg kan konvertere mellom grader og radianer.
Jeg dokumenterer vinkelmodus i digitale beregninger.

Veien videre i Matematikk 1T

Neste kapittel er vekstfart og derivasjon. Der går du fra geometriske forhold til hvordan funksjoner endrer seg lokalt. Premiumbanken under kapitlet beholder ekstra oppgaver og progresjon.

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo