Tall og tallmønstre

I dette kapittelet bygger vi opp en trygg forståelse av tallene vi regner med — fra de naturlige tallene vi møtte på barneskolen, til de reelle tallene som fyller hele tallinja. Vi ser hvordan regnereglene henger sammen, hvordan vi forenkler uttrykk med brøk, potenser og røtter, og hvordan vi kan bevise at et tallmønster alltid holder.

1.1 Tallmengdene

Gjennom historien har mennesket utvidet tallbegrepet flere ganger. Vi begynte med å telle (1, 2, 3 …), måtte finne på \(0\) og negative tall for å holde regnskap med gjeld, oppdaget brøker for å dele opp mengder, og til slutt tall som \(\sqrt2\) og \(\pi\) som ikke lar seg skrive som brøk i det hele tatt. Resultatet er en trapp av tallmengder som ligger inni hverandre:

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\]

Definisjon — de fire tallmengdene

• Naturlige tall \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots\}\) — telletallene.
• Hele tall \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) — de naturlige, \(0\) og de negative.
• Rasjonale tall \(\mathbb{Q}\) — alle tall som kan skrives som en brøk \(\dfrac{a}{b}\) der \(a,b\in\mathbb{Z}\) og \(b\neq 0\).
• Reelle tall \(\mathbb{R}\) — alle rasjonale og irrasjonale tall; hele den sammenhengende tallinja.

Alle reelle tall — hele, brøk og irrasjonale — har hver sin faste plass på tallinja.

Rasjonalt eller irrasjonalt?

Et rasjonalt tall har en desimalutvikling som enten stopper eller gjentar seg med fast periode. Et irrasjonalt tall fortsetter i det uendelige uten mønster.

Tall	Desimalform	Type
\(\tfrac{3}{8}\)	\(0{,}375\) (stopper)	Rasjonalt
\(\tfrac{1}{3}\)	\(0{,}3333\dots\) (gjentar)	Rasjonalt
\(\sqrt2\)	\(1{,}414213\dots\)	Irrasjonalt
\(\pi\)	\(3{,}141592\dots\)	Irrasjonalt

Eksempel 1 — klassifiser tall

Plasser \(-4,\ \tfrac{7}{2},\ \sqrt{9},\ \sqrt5,\ 0\) i den minste tallmengden hver hører hjemme i.

\(\sqrt9=3\Rightarrow 3\in\mathbb{N}\). \(0\in\mathbb{Z}\); \(-4\in\mathbb{Z}\). \(\tfrac{7}{2}=3{,}5\in\mathbb{Q}\). \(\sqrt5=2{,}236\dots\) er irrasjonalt \(\Rightarrow\in\mathbb{R}\). Eksempel 2 — periodisk desimaltall som brøk

Skriv \(0{,}4444\dots\) som brøk.

La \(x=0{,}4444\dots\), da er \(10x=4{,}4444\dots\) \(10x-x=4\Rightarrow 9x=4\Rightarrow x=\tfrac49\).

Bevis: \(\sqrt2\) er irrasjonalt

Bevis (motsigelse) Anta \(\sqrt2=\dfrac{a}{b}\) som forkortet brøk (ingen felles faktor). Kvadrer: \(2=\dfrac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2b^2\), så \(a\) er partall. Skriv \(a=2k\). \((2k)^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\), så \(b\) er også partall. Både \(a\) og \(b\) har faktor 2 — i strid med at brøken var forkortet. Altså er \(\sqrt2\) irrasjonalt. \(\blacksquare\) ⚠ Vanlig feil

\(-4\) er et helt tall, ikke irrasjonalt. Og \(\sqrt9=3\) er rasjonalt — bare røtter som ikke går opp (\(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5\)) blir irrasjonale.

✍ Prøv selv

a) Minste tallmengde for \(-\tfrac25,\ \sqrt{16},\ \pi,\ 7\)?\quad b) Skriv \(0{,}7777\dots\) som brøk.

Vis løsning

a) \(\mathbb{Q},\ \mathbb{N}\ (=4),\ \mathbb{R}\ (\text{irr.}),\ \mathbb{N}\). b) \(9x=7\Rightarrow x=\tfrac79\).

1.2 Regnerekkefølge og fortegn

Når flere regnearter møtes, må alle regne i samme rekkefølge — ellers får to personer ulike svar på samme uttrykk.

Regel — rekkefølgen

1. Parenteser — innerst først.
2. Potenser og røtter.
3. Multiplikasjon og divisjon — venstre mot høyre.
4. Addisjon og subtraksjon — venstre mot høyre.

Eksempel 3

Regn ut \(12-3\cdot(5-2)^2\div 3\).

\(5-2=3\Rightarrow 12-3\cdot3^2\div3\). \(3^2=9\Rightarrow 12-3\cdot9\div3\). \(3\cdot9=27,\ 27\div3=9\Rightarrow 12-9=3\). ⚠ Vanlig feil — \(-3^2\) mot \((-3)^2\)

\(-3^2=-(3^2)=-9\) (potens før fortegn), mens \((-3)^2=9\). Parentesen avgjør om minus blir med «opp i andre».

✍ Prøv selv

a) \((-2)^3+4\cdot(1-3)\quad\) b) \(20\div(2+3)\cdot2\quad\) c) \(-5^2+(-5)^2\)

Vis løsning

a) \(-16\). b) \(8\). c) \(0\).

1.3 Brøk, desimaltall og prosent

En brøk \(\dfrac{a}{b}\) betyr «\(a\) deler når det hele er delt i \(b\) like store biter». Brøk, desimaltall og prosent er tre skrivemåter for det samme: \(\tfrac34=0{,}75=75\%\).

Tre av fire like biter: \(\tfrac34=0{,}75=75\%\). Regel — regning med brøk

• Pluss/minus: felles nevner først: \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}\).
• Gange: \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\).
• Dele: gang med den omvendte: \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\).
• Forkorting: del teller og nevner på samme faktor.

Eksempel 4 — felles nevner

\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\): felles nevner 12 gir \(\dfrac{8+3-2}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac34\).

Eksempel 5 — brøk delt på brøk

\(\dfrac{\ \frac{3}{4}\ }{\frac{9}{8}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}.\)

⚠ Vanlig feil

Du kan ikke legge sammen tellere og nevnere hver for seg: \(\tfrac12+\tfrac13\neq\tfrac25\). Og du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd.

✍ Prøv selv

a) \(\dfrac56-\dfrac29\quad\) b) \(\dfrac34\div\dfrac{6}{5}\quad\) c) \(\tfrac{7}{20}\) i prosent.

Vis løsning

a) \(\tfrac{11}{18}\). b) \(\tfrac58\). c) \(35\%\).

1.4 Potenser og potensregler

En potens er kort skrivemåte for gjentatt multiplikasjon: \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ faktorer}}\). \(a\) er grunntall, \(n\) er eksponent.

Regel — potensreglene

Regel	Eksempel
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)	\(2^3\cdot2^4=2^7\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)	\(\dfrac{5^6}{5^2}=5^4\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)	\((3^2)^4=3^8\)
\((ab)^n=a^nb^n\)	\((2x)^3=8x^3\)
\(a^0=1\ (a\neq0)\)	\(7^0=1\)
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)	\(2^{-3}=\tfrac18\)
\(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\)	\(8^{1/3}=2\)

De to siste er egentlig definisjoner valgt slik at de andre reglene fortsatt gjelder: \(a^0=1\) må til for at \(\dfrac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0\) skal stemme.

Eksempel 6 — forenkle

\(\dfrac{(2a^2)^3\cdot a^{-4}}{a^0}\):

\((2a^2)^3=8a^6\). \(8a^6\cdot a^{-4}=8a^2\); nevner \(a^0=1\). Svar: \(8a^2\). Merk — huskeregel

Negativ eksponent = «bytt side av brøkstreken»: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\). Fortegnet på eksponenten har ingenting med fortegnet på tallet: \(2^{-3}=\tfrac18\) er positivt.

⚠ Vanlig feil

Ved multiplikasjon legges eksponentene sammen (\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)); de ganges bare ved potens av potens (\((a^m)^n=a^{mn}\)).

✍ Prøv selv

a) \(\dfrac{x^5\cdot x^{-2}}{x^{-3}}\quad\) b) \((3^{-1})^2\quad\) c) \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3\)

Vis løsning

a) \(x^{6}\). b) \(\tfrac19\). c) \(\dfrac{a^6}{b^3}\).

1.5 Røtter og n-te røtter

\(\sqrt a\) er det ikke-negative tallet som ganget med seg selv gir \(a\). Generelt er \(\sqrt[n]{a}\) tallet som opphøyd i \(n\) gir \(a\). Røtter og potenser henger sammen: \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\).

\(\sqrt a\) er sidelengden i et kvadrat med areal \(a\). Regel — regning med røtter

• \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\) og \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\tfrac ab}\).
• Trekk ut kvadrater: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\).
• \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Eksempel 7 — forenkle rot

\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2.\)

Eksempel 8 — rasjonaliser nevneren

\(\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3.\)

⚠ Vanlig feil

\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\): \(\sqrt{9+16}=5\), men \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\).

✍ Prøv selv

a) \(\sqrt{45}\quad\) b) \(\dfrac{10}{\sqrt5}\quad\) c) \(\sqrt[3]{x^2}\) som potens.

Vis løsning

a) \(3\sqrt5\). b) \(2\sqrt5\). c) \(x^{2/3}\).

1.6 Standardform

Store og små tall blir uleselige med mange nuller. Standardform skriver tallet som \(a\cdot10^n\), der \(1\le|a|<10\) og \(n\) er et helt tall. Positiv \(n\) gir store tall, negativ \(n\) gir små.

Eksempel 9

a) \(48\,000=4{,}8\cdot10^{4}\) (komma flyttet 4 plasser). b) \(0{,}00062=6{,}2\cdot10^{-4}\).

Eksempel 10 — regning

\((3\cdot10^{5})\cdot(2\cdot10^{-2})=6\cdot10^{3}=6000.\)

⚠ Vanlig feil

\(a\) må ligge mellom 1 og 10. \(48\cdot10^{3}\) er ikke standardform — riktig er \(4{,}8\cdot10^{4}\).

✍ Prøv selv

Skriv \(0{,}00305\) på standardform, og regn ut \(\dfrac{8\cdot10^{6}}{4\cdot10^{2}}\).

Vis løsning

\(3{,}05\cdot10^{-3}\); \(2\cdot10^{4}=20000\).

1.7 Kvadratsetningene

Å gange ut parenteser følger distributiv lov: hvert ledd ganges med hvert ledd. Tre spesialtilfeller er så vanlige at de har egne navn — og er verdt å kjenne igjen begge veier.

Regel — de tre kvadratsetningene

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Den første kan «ses» geometrisk: et kvadrat med side \(a+b\) består av et \(a\)-kvadrat, et \(b\)-kvadrat og to like rektangler \(a\cdot b\):

Arealet \((a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\). Eksempel 11

\((2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9.\)

Eksempel 12 — konjugat

\((x-5)(x+5)=x^2-25.\) Det midtre leddet \(-5x+5x\) faller alltid bort.

⚠ Vanlig feil

Det midtre leddet glemmes ofte: \((a+b)^2\neq a^2+b^2\) — det mangler \(2ab\). Test: \((1+2)^2=9\), ikke \(5\).

✍ Prøv selv

a) \((x-4)^2\quad\) b) \((3+a)(3-a)\quad\) c) \((2m+5)^2\)

Vis løsning

a) \(x^2-8x+16\). b) \(9-a^2\). c) \(4m^2+20m+25\). …

Åpen undervisning · full fasit

Tall, potenser og røtter – komplett undervisning

Lær metoden gjennom ni eksempler, prøv åtte oppgaver selv, og åpne fullstendig fasit når du er klar til å kontrollere arbeidet.

Målet med kapitlet er å regne presist og kunne forklare hvorfor hvert steg er lovlig. På en 1T-prøve er et riktig sluttresultat ikke nok hvis mellomregningen skjuler en ugyldig potensregel, en feil med fortegn eller en rot som ikke er definert i de reelle tallene. Arbeid derfor i denne rekkefølgen: klassifiser tallene, velg en regel med riktige vilkår, vis ett steg om gangen, og kontroller svaret.

1. Tallmengder: hvilket tall arbeider du med?

Tallmengdene ligger inni hverandre. Naturlige tall brukes til telling. Hele tall inkluderer også 0 og negative heltall. Rasjonale tall kan skrives som en brøk a/b, der a og b er hele tall og b ≠ 0. Irrasjonale tall kan ikke skrives slik. De reelle tallene består av alle rasjonale og irrasjonale tall.

Tallmengde	Symbol	Eksempler	Kjennetegn
Naturlige tall	ℕ	1, 2, 3, …	Telling. Noen lærebøker tar også med 0; kontroller definisjonen som brukes.
Hele tall	ℤ	−4, 0, 9	Ingen brøkdel.
Rasjonale tall	ℚ	3/4, −2, 0,333…	Kan skrives som en brøk av hele tall. Desimalutviklingen stopper eller blir periodisk.
Irrasjonale tall	ℝ \ ℚ	√2, π	Uendelig, ikke-periodisk desimalutvikling.
Reelle tall	ℝ	Alle tallene over	Alle punkter på tallinja.

Eksempel 1: Klassifiser fire tall

Plasser −7, 0,125, 0,272727… og √5 i den minste passende tallmengden.

1. Steg 1: −7 er et helt tall, altså −7 ∈ ℤ. Det er også rasjonalt fordi −7 = −7/1.
2. Steg 2: 0,125 = 125/1000 = 1/8, så tallet er rasjonalt.
3. Steg 3: 0,272727… = 27/99 = 3/11. Perioden 27 gjentas, derfor er tallet rasjonalt.
4. Steg 4: 5 er ikke et perfekt kvadrattall. Derfor kan √5 ikke skrives som en brøk av hele tall og er irrasjonalt.

Svar: Minste passende mengder er ℤ, ℚ, ℚ og ℝ \ ℚ.

Eksempel 2: Skriv et periodisk desimaltall som brøk

Skriv x = 0,363636… som brøk.

1. Steg 1: Perioden har to sifre. Gang derfor med 100: 100x = 36,363636….
2. Steg 2: Trekk den første likningen fra den andre: 100x − x = 36,363636… − 0,363636….
3. Steg 3: Desimaldelene forsvinner, så 99x = 36.
4. Steg 4: Del på 99 og forkort: x = 36/99 = 4/11.

Svar: 0,363636… = 4/11. Utledningen viser hvorfor tallet er rasjonalt.

2. Potenser: bruk regelen som passer strukturen

I en potens aⁿ er a grunntallet og n eksponenten. Potensreglene gjelder for produkter og kvotienter med passende grunntall. De kan ikke brukes som om en sum var et produkt. For eksempel er (a + b)² vanligvis ikke lik a² + b².

Situasjon	Regel	Vilkår eller kontroll
Samme grunntall multipliseres	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	Grunntallet må være det samme.
Samme grunntall divideres	aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	a ≠ 0.
Potens av en potens	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	Eksponentene multipliseres.
Potens av et produkt	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	Hele produktet opphøyes.
Negativ eksponent	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	a ≠ 0.
Eksponent 0	a⁰ = 1	a ≠ 0.

Eksempel 3: Forenkle et potensuttrykk

Forenkle (2x³)² · x⁻¹ når x ≠ 0.

1. Steg 1: Fordel den ytre eksponenten over produktet: (2x³)² = 2² · (x³)².
2. Steg 2: Regn ut: 2² = 4 og (x³)² = x⁶.
3. Steg 3: Multipliser potenser med samme grunntall: 4x⁶ · x⁻¹ = 4x⁶⁻¹.
4. Steg 4: 6 − 1 = 5, så uttrykket blir 4x⁵.

Svar: (2x³)² · x⁻¹ = 4x⁵ for x ≠ 0.

Eksempel 4: Se forskjellen på sum og produkt

Undersøk påstanden (a + b)² = a² + b².

1. Steg 1: Skriv kvadratet som multiplikasjon: (a + b)² = (a + b)(a + b).
2. Steg 2: Multipliser hvert ledd: a² + ab + ba + b².
3. Steg 3: Siden ab = ba, får vi a² + 2ab + b².
4. Steg 4: Test gjerne a = 1 og b = 2: venstre side er 9, mens a² + b² = 5.

Svar: Påstanden er feil. Den riktige identiteten er (a + b)² = a² + 2ab + b².

3. Røtter og brøkeksponenter

En kvadratrot er et ikke-negativt tall som gir radikanden når det kvadreres. Derfor betyr √25 = 5, ikke ±5. Likningen x² = 25 har derimot to løsninger, x = 5 og x = −5. Dette skillet er en vanlig kilde til feil.

Eksempel 5: Forenkle en rot

Forenkle √72.

1. Steg 1: Finn det største perfekte kvadrattallet som er faktor i 72. Her er 72 = 36 · 2.
2. Steg 2: Bruk produktregelen for ikke-negative faktorer: √72 = √36 · √2.
3. Steg 3: √36 = 6.
4. Steg 4: √2 kan ikke forenkles videre fordi 2 ikke har en kvadratfaktor større enn 1.

Svar: √72 = 6√2.

Eksempel 6: Brøkeksponent og definisjonsmengde

Regn ut 27^(2/3), og forklar metoden.

1. Steg 1: Nevneren 3 betyr tredje rot: 27^(1/3) = ∛27.
2. Steg 2: ∛27 = 3 fordi 3³ = 27.
3. Steg 3: Telleren 2 betyr at resultatet kvadreres: (27^(1/3))² = 3².
4. Steg 4: 3² = 9.

Svar: 27^(2/3) = 9. For en jevn rot i de reelle tallene må radikanden være ikke-negativ; oddetallsrøtter kan også tas av negative tall.

4. Standardform: store og små tall med kontroll på størrelsesorden

Standardform skrives a · 10ⁿ, der 1 ≤ |a| < 10 og n er et helt tall. Positiv eksponent flytter desimaltegnet mot høyre når tallet skrives vanlig. Negativ eksponent beskriver et tall mellom −1 og 1. På eksamen bør både mellomregning, enhet og rimelighetskontroll vises.

Eksempel 7: Multipliser tall på standardform

Regn ut (3,2 · 10⁵)(4 · 10⁻³).

1. Steg 1: Multipliser desimaltallene: 3,2 · 4 = 12,8.
2. Steg 2: Multipliser tierpotensene: 10⁵ · 10⁻³ = 10².
3. Steg 3: Foreløpig resultat er 12,8 · 10².
4. Steg 4: Tallet foran tierpotensen må være mindre enn 10: 12,8 · 10² = 1,28 · 10³.
5. Steg 5: Kontroller størrelsesorden: omtrent 3 · 10⁵ · 4 · 10⁻³ = 12 · 10², altså litt over 1000. Resultatet 1280 er rimelig.

Svar: 1,28 · 10³.

5. Tallmønstre og algebraisk generalisering

Et mønster blir matematikk når du beskriver hva som varierer, lager en regel for figur eller ledd nummer n, og begrunner at regelen virker for alle relevante n. Det holder ikke å kontrollere bare de tre første tilfellene. Små tilfeller kan hjelpe deg å oppdage regelen, men algebraen forklarer hvorfor den alltid gjelder.

Eksempel 8: Finn og kontroller en formel for et mønster

En figurrekke har 5, 8, 11 og 14 brikker i de fire første figurene. Finn en formel for antall brikker B(n).

1. Steg 1: Differansen mellom nabotallene er alltid 3. En lineær formel har derfor stigningstall 3: B(n) = 3n + b.
2. Steg 2: Bruk første figur: B(1) = 5. Da er 3 · 1 + b = 5.
3. Steg 3: Løs for konstantleddet: b = 2.
4. Steg 4: Formelen er B(n) = 3n + 2.
5. Steg 5: Kontroller for eksempel figur 4: B(4) = 3 · 4 + 2 = 14, som stemmer med opplysningen.

Svar: B(n) = 3n + 2. Tallet 3 beskriver tre nye brikker per figur, og 2 er den faste delen.

Eksempel 9: Begrunn at summen av to oddetall er partall

Vis algebraisk at summen av to vilkårlige oddetall alltid er et partall.

1. Steg 1: Skriv de to oddetallene som 2k + 1 og 2m + 1, der k, m ∈ ℤ.
2. Steg 2: Legg dem sammen: (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2.
3. Steg 3: Faktoriser 2: 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1).
4. Steg 4: Siden k + m + 1 er et helt tall, er summen 2 ganger et helt tall.

Svar: Summen er alltid et partall. Begrunnelsen gjelder alle heltall k og m, ikke bare noen eksempler.

Eksamensverksted: vis metode, vilkår og kontroll

Når en oppgave ber deg forenkle eller begrunne, bør svaret vise mer enn en kjede med likhetstegn. Skriv hvilken regel du bruker, noter vilkår som x ≠ 0, og avslutt med en kontroll. Hvis du bruker et digitalt verktøy eller Python, skal du fortsatt forklare den matematiske ideen og tolke resultatet.

1. Les strukturen: Er dette en sum, et produkt, en kvotient, en potens eller en rot?
2. Skriv vilkår: Kan nevneren bli 0? Krever en kvadratrot at radikanden er ikke-negativ?
3. Regn i små steg: Ett lovlig steg per linje gjør både løsning og feilsøking tydelig.
4. Kontroller: Sett inn et enkelt tall, bruk motsatt operasjon eller anslå størrelsesorden.
5. Konkluder: Svar med riktig tallmengde, form og eventuell enhet.

Tren selv – med fullstendig fasit

Prøv hver oppgave før du åpner løsningen. Sammenlign ikke bare sluttresultatet; se etter det første steget der metoden din avviker.

Oppgave 1: Tallmengder

Bestem den minste passende tallmengden for −12, 7/9, √49 og √10.

Fullstendig fasit

Steg 1: −12 er heltall, altså i ℤ. Steg 2: 7/9 er en brøk av hele tall og ligger i ℚ. Steg 3: √49 = 7, som er naturlig tall. Steg 4: 10 er ikke et perfekt kvadrattall, så √10 er irrasjonalt. Svar: ℤ, ℚ, ℕ og ℝ \ ℚ.

Oppgave 2: Periodisk desimaltall

Skriv 0,454545… som en forkortet brøk.

Fullstendig fasit

Steg 1: Sett x = 0,454545…. Steg 2: Da er 100x = 45,454545…. Steg 3: Subtraksjon gir 99x = 45. Steg 4: x = 45/99 = 5/11. Svar: 5/11.

Oppgave 3: Potensregler

Forenkle (3a²)³ / (9a) for a ≠ 0.

Fullstendig fasit

Steg 1: (3a²)³ = 3³a⁶ = 27a⁶. Steg 2: Divider koeffisientene: 27/9 = 3. Steg 3: a⁶/a = a⁵. Svar: 3a⁵ når a ≠ 0.

Oppgave 4: Negativ eksponent

Skriv 2x⁻³ uten negativ eksponent.

Fullstendig fasit

Steg 1: Bruk x⁻³ = 1/x³. Steg 2: Faktoren 2 blir stående i telleren. Svar: 2/x³, med vilkåret x ≠ 0.

Oppgave 5: Røtter

Forenkle √180.

Fullstendig fasit

Steg 1: 180 = 36 · 5. Steg 2: √180 = √36 · √5. Steg 3: √36 = 6. Svar: 6√5.

Oppgave 6: Standardform

Regn ut (6 · 10⁷) / (3 · 10²) og skriv svaret på standardform.

Fullstendig fasit

Steg 1: Divider tallene foran: 6/3 = 2. Steg 2: Trekk eksponentene fra hverandre: 10⁷/10² = 10⁵. Svar: 2 · 10⁵.

Oppgave 7: Tallmønster

En følge starter med 4, 9, 14, 19. Finn en formel for ledd nummer n, og finn ledd 20.

Fullstendig fasit

Steg 1: Konstant differanse er 5, så aₙ = 5n + b. Steg 2: Første ledd gir 5 · 1 + b = 4, altså b = −1. Steg 3: Formelen er aₙ = 5n − 1. Steg 4: a₂₀ = 5 · 20 − 1 = 99. Svar: aₙ = 5n − 1 og ledd 20 er 99.

Oppgave 8: Algebraisk begrunnelse

Vis at kvadratet av et oddetall alltid er et oddetall.

Fullstendig fasit

Steg 1: Et vilkårlig oddetall kan skrives 2k + 1, der k ∈ ℤ. Steg 2: Kvadrer: (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1. Steg 3: Faktoriser de to første leddene: 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1. Steg 4: Parentesen er et helt tall, så uttrykket har formen 2m + 1. Svar: Kvadratet er alltid oddetall.

Sjekkliste før du går videre

• Jeg kan skille mellom naturlige, hele, rasjonale, irrasjonale og reelle tall.
• Jeg kan forklare hvorfor et periodisk desimaltall er rasjonalt.
• Jeg bruker potensregler bare når uttrykkets struktur og vilkår tillater det.
• Jeg skiller mellom √a og løsningene av likningen x² = a.
• Jeg kan skrive og regne med standardform og kontrollere størrelsesorden.
• Jeg kan lage en formel for et lineært tallmønster og forklare hva parameterne betyr.
• Jeg viser mellomregning, vilkår, kontroll og en tydelig konklusjon.

Veien videre i Matematikk 1T

Regnereglene fra dette kapitlet brukes i alle de neste kapitlene. Fortsett med likninger og ulikheter, repeter symbolene i 1T-formelbanken, eller tren på å oppdage typiske feil i vanlige feil i Matematikk 1T. Den åpne undervisningen på denne siden gir metode og komplette løsningsforslag; premiumbanken under gir flere oppgaver og progresjon.