Tallmengder, regnerekkefølge, brøker, potenser, røtter, standardform og tallmønstre – grunnlaget for hele 1T.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
I dette kapittelet bygger vi opp en trygg forståelse av tallene vi regner med — fra de naturlige tallene vi møtte på barneskolen, til de reelle tallene som fyller hele tallinja. Vi ser hvordan regnereglene henger sammen, hvordan vi forenkler uttrykk med brøk, potenser og røtter, og hvordan vi kan bevise at et tallmønster alltid holder.
1.1 Tallmengdene
Gjennom historien har mennesket utvidet tallbegrepet flere ganger. Vi begynte med å telle (1, 2, 3 …), måtte finne på \(0\) og negative tall for å holde regnskap med gjeld, oppdaget brøker for å dele opp mengder, og til slutt tall som \(\sqrt2\) og \(\pi\) som ikke lar seg skrive som brøk i det hele tatt. Resultatet er en trapp av tallmengder som ligger inni hverandre:
\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\]
Definisjon — de fire tallmengdene
- Naturlige tall \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots\}\) — telletallene.
- Hele tall \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) — de naturlige, \(0\) og de negative.
- Rasjonale tall \(\mathbb{Q}\) — alle tall som kan skrives som en brøk \(\dfrac{a}{b}\) der \(a,b\in\mathbb{Z}\) og \(b\neq 0\).
- Reelle tall \(\mathbb{R}\) — alle rasjonale og irrasjonale tall; hele den sammenhengende tallinja.
Alle reelle tall — hele, brøk og irrasjonale — har hver sin faste plass på tallinja.
Rasjonalt eller irrasjonalt?
Et rasjonalt tall har en desimalutvikling som enten stopper eller gjentar seg med fast periode. Et irrasjonalt tall fortsetter i det uendelige uten mønster. …