Tallmengder, regnerekkefølge, brøker, potenser, røtter, standardform og tallmønstre – grunnlaget for hele 1T.
I dette kapittelet bygger vi opp en trygg forståelse av tallene vi regner med – fra de hele tallene vi møter første skoledag, til de reelle tallene som dekker hele tallinja. Vi ser også på tallmønstre og hvordan vi beskriver dem med formler. Disse verktøyene danner grunnlaget for resten av 1T: algebra, likninger, funksjoner og bevis.
1.1 Tallmengdene
Når vi sier «et tall», mener vi vanligvis et reelt tall – men de reelle tallene består av flere mindre mengder. Hver mengde har sine egne egenskaper og bruksområder.
Sentrale tallmengder
- Naturlige tall \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) – telletall.
- Hele tall \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\) – inkluderer 0 og negative.
- Rasjonale tall \(\mathbb{Q}\) – alle tall som kan skrives som en brøk \(\tfrac{a}{b}\) der \(a,b\in\mathbb{Z}\) og \(b\ne 0\).
- Irrasjonale tall – tall som ikke kan skrives som brøk, f.eks. \(\sqrt{2},\;\pi,\;e\).
- Reelle tall \(\mathbb{R}\) – alle rasjonale og irrasjonale tall samlet.
Mellom hvert hele tall ligger det uendelig mange rasjonale tall, og mellom hvert rasjonalt tall ligger det uendelig mange irrasjonale tall. Tallinja er altså «tett» på en måte som er litt overraskende første gang man tenker på det.
Eksempel 1 – Hvilken tallmengde?
Plasser tallene \(7,\ -4,\ \tfrac{3}{8},\ \sqrt{9},\ \sqrt{11},\ \pi\) i riktig minste tallmengde.
- \(7\in\mathbb{N}\) (også i \(\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\))
- \(-4\in\mathbb{Z}\) (men ikke i \(\mathbb{N}\))
- \(\tfrac{3}{8}\in\mathbb{Q}\)
- \(\sqrt{9}=3\in\mathbb{N}\) (kvadratrot kan gi naturlig tall!)
- \(\sqrt{11}\) er irrasjonalt – ikke i \(\mathbb{Q}\), men i \(\mathbb{R}\)
- \(\pi\) er irrasjonalt – i \(\mathbb{R}\)
Bevis: \(\sqrt{2}\) er irrasjonalt
Et klassisk motsigelsesbevis. Anta at \(\sqrt{2}=\tfrac{a}{b}\), der brøken er forkortet så langt det går (\(a,b\) har ingen felles faktor). Da er
\(2 = \dfrac{a^2}{b^2}\quad\Rightarrow\quad a^2 = 2b^2.\)
Altså er \(a^2\) et partall, noe som tvinger \(a\) til å være partall: \(a = 2k\). Setter vi inn, får vi \(4k^2 = 2b^2\), dvs. \(b^2 = 2k^2\) – så \(b\) er også partall. Men da har \(a\) og \(b\) felles faktor 2, i strid med antakelsen. Konklusjon: \(\sqrt{2}\) kan ikke skrives som brøk.
1.2 Regnerekkefølge og fortegn
Et lite mistak i regnerekkefølge ødelegger ofte hele svaret. Husk huskeregelen PEMDAS (parentes, eksponent, multiplikasjon/divisjon, addisjon/subtraksjon).
Rekkefølgen vi regner i
- Parenteser og brøkstreker (innerst først)
- Potenser og røtter
- Multiplikasjon og divisjon (fra venstre)
- Addisjon og subtraksjon (fra venstre)
Eksempel 2 – Regnerekkefølge
Regn ut \(\;6 + 2\cdot(5-3)^2 - \dfrac{12}{4}\).
\(=6 + 2\cdot 2^2 - 3 = 6 + 2\cdot 4 - 3 = 6 + 8 - 3 = 11.\) Eksempel 3 – Negative tall og fortegn
Regn ut \(\;-3^2 + (-3)^2 - 2\cdot(-4)\).
NB: \(-3^2 = -(3^2) = -9\), mens \((-3)^2 = 9\). …