Tall og tallmønstre

I dette kapittelet bygger vi opp en trygg forståelse av tallene vi regner med — fra de naturlige tallene vi møtte på barneskolen, til de reelle tallene som fyller hele tallinja. Vi ser hvordan regnereglene henger sammen, hvordan vi forenkler uttrykk med brøk, potenser og røtter, og hvordan vi kan bevise at et tallmønster alltid holder.

1.1 Tallmengdene

Gjennom historien har mennesket utvidet tallbegrepet flere ganger. Vi begynte med å telle (1, 2, 3 …), måtte finne på \(0\) og negative tall for å holde regnskap med gjeld, oppdaget brøker for å dele opp mengder, og til slutt tall som \(\sqrt2\) og \(\pi\) som ikke lar seg skrive som brøk i det hele tatt. Resultatet er en trapp av tallmengder som ligger inni hverandre:

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\]

Definisjon — de fire tallmengdene

• Naturlige tall \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots\}\) — telletallene.
• Hele tall \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) — de naturlige, \(0\) og de negative.
• Rasjonale tall \(\mathbb{Q}\) — alle tall som kan skrives som en brøk \(\dfrac{a}{b}\) der \(a,b\in\mathbb{Z}\) og \(b\neq 0\).
• Reelle tall \(\mathbb{R}\) — alle rasjonale og irrasjonale tall; hele den sammenhengende tallinja.

Alle reelle tall — hele, brøk og irrasjonale — har hver sin faste plass på tallinja.

Rasjonalt eller irrasjonalt?

Et rasjonalt tall har en desimalutvikling som enten stopper eller gjentar seg med fast periode. Et irrasjonalt tall fortsetter i det uendelige uten mønster.

Tall	Desimalform	Type
\(\tfrac{3}{8}\)	\(0{,}375\) (stopper)	Rasjonalt
\(\tfrac{1}{3}\)	\(0{,}3333\dots\) (gjentar)	Rasjonalt
\(\sqrt2\)	\(1{,}414213\dots\)	Irrasjonalt
\(\pi\)	\(3{,}141592\dots\)	Irrasjonalt

Eksempel 1 — klassifiser tall

Plasser \(-4,\ \tfrac{7}{2},\ \sqrt{9},\ \sqrt5,\ 0\) i den minste tallmengden hver hører hjemme i.

\(\sqrt9=3\Rightarrow 3\in\mathbb{N}\). \(0\in\mathbb{Z}\); \(-4\in\mathbb{Z}\). \(\tfrac{7}{2}=3{,}5\in\mathbb{Q}\). \(\sqrt5=2{,}236\dots\) er irrasjonalt \(\Rightarrow\in\mathbb{R}\). Eksempel 2 — periodisk desimaltall som brøk

Skriv \(0{,}4444\dots\) som brøk.

La \(x=0{,}4444\dots\), da er \(10x=4{,}4444\dots\) \(10x-x=4\Rightarrow 9x=4\Rightarrow x=\tfrac49\).

Bevis: \(\sqrt2\) er irrasjonalt

Bevis (motsigelse) Anta \(\sqrt2=\dfrac{a}{b}\) som forkortet brøk (ingen felles faktor). Kvadrer: \(2=\dfrac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2b^2\), så \(a\) er partall. Skriv \(a=2k\). \((2k)^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\), så \(b\) er også partall. Både \(a\) og \(b\) har faktor 2 — i strid med at brøken var forkortet. Altså er \(\sqrt2\) irrasjonalt. \(\blacksquare\) ⚠ Vanlig feil

\(-4\) er et helt tall, ikke irrasjonalt. Og \(\sqrt9=3\) er rasjonalt — bare røtter som ikke går opp (\(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5\)) blir irrasjonale.

✍ Prøv selv

a) Minste tallmengde for \(-\tfrac25,\ \sqrt{16},\ \pi,\ 7\)?\quad b) Skriv \(0{,}7777\dots\) som brøk.

Vis løsning

a) \(\mathbb{Q},\ \mathbb{N}\ (=4),\ \mathbb{R}\ (\text{irr.}),\ \mathbb{N}\). b) \(9x=7\Rightarrow x=\tfrac79\).

1.2 Regnerekkefølge og fortegn

Når flere regnearter møtes, må alle regne i samme rekkefølge — ellers får to personer ulike svar på samme uttrykk.

Regel — rekkefølgen

1. Parenteser — innerst først.
2. Potenser og røtter.
3. Multiplikasjon og divisjon — venstre mot høyre.
4. Addisjon og subtraksjon — venstre mot høyre.

Eksempel 3

Regn ut \(12-3\cdot(5-2)^2\div 3\).

\(5-2=3\Rightarrow 12-3\cdot3^2\div3\). \(3^2=9\Rightarrow 12-3\cdot9\div3\). \(3\cdot9=27,\ 27\div3=9\Rightarrow 12-9=3\). ⚠ Vanlig feil — \(-3^2\) mot \((-3)^2\)

\(-3^2=-(3^2)=-9\) (potens før fortegn), mens \((-3)^2=9\). Parentesen avgjør om minus blir med «opp i andre».

✍ Prøv selv

a) \((-2)^3+4\cdot(1-3)\quad\) b) \(20\div(2+3)\cdot2\quad\) c) \(-5^2+(-5)^2\)

Vis løsning

a) \(-16\). b) \(8\). c) \(0\).

1.3 Brøk, desimaltall og prosent

En brøk \(\dfrac{a}{b}\) betyr «\(a\) deler når det hele er delt i \(b\) like store biter». Brøk, desimaltall og prosent er tre skrivemåter for det samme: \(\tfrac34=0{,}75=75\%\).

Tre av fire like biter: \(\tfrac34=0{,}75=75\%\). Regel — regning med brøk

• Pluss/minus: felles nevner først: \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}\).
• Gange: \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\).
• Dele: gang med den omvendte: \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\).
• Forkorting: del teller og nevner på samme faktor.

Eksempel 4 — felles nevner

\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\): felles nevner 12 gir \(\dfrac{8+3-2}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac34\).

Eksempel 5 — brøk delt på brøk

\(\dfrac{\ \frac{3}{4}\ }{\frac{9}{8}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}.\)

⚠ Vanlig feil

Du kan ikke legge sammen tellere og nevnere hver for seg: \(\tfrac12+\tfrac13\neq\tfrac25\). Og du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd.

✍ Prøv selv

a) \(\dfrac56-\dfrac29\quad\) b) \(\dfrac34\div\dfrac{6}{5}\quad\) c) \(\tfrac{7}{20}\) i prosent.

Vis løsning

a) \(\tfrac{11}{18}\). b) \(\tfrac58\). c) \(35\%\).

1.4 Potenser og potensregler

En potens er kort skrivemåte for gjentatt multiplikasjon: \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ faktorer}}\). \(a\) er grunntall, \(n\) er eksponent.

Regel — potensreglene

Regel	Eksempel
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)	\(2^3\cdot2^4=2^7\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)	\(\dfrac{5^6}{5^2}=5^4\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)	\((3^2)^4=3^8\)
\((ab)^n=a^nb^n\)	\((2x)^3=8x^3\)
\(a^0=1\ (a\neq0)\)	\(7^0=1\)
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)	\(2^{-3}=\tfrac18\)
\(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\)	\(8^{1/3}=2\)

De to siste er egentlig definisjoner valgt slik at de andre reglene fortsatt gjelder: \(a^0=1\) må til for at \(\dfrac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0\) skal stemme.

Eksempel 6 — forenkle

\(\dfrac{(2a^2)^3\cdot a^{-4}}{a^0}\):

\((2a^2)^3=8a^6\). \(8a^6\cdot a^{-4}=8a^2\); nevner \(a^0=1\). Svar: \(8a^2\). Merk — huskeregel

Negativ eksponent = «bytt side av brøkstreken»: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\). Fortegnet på eksponenten har ingenting med fortegnet på tallet: \(2^{-3}=\tfrac18\) er positivt.

⚠ Vanlig feil

Ved multiplikasjon legges eksponentene sammen (\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)); de ganges bare ved potens av potens (\((a^m)^n=a^{mn}\)).

✍ Prøv selv

a) \(\dfrac{x^5\cdot x^{-2}}{x^{-3}}\quad\) b) \((3^{-1})^2\quad\) c) \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3\)

Vis løsning

a) \(x^{6}\). b) \(\tfrac19\). c) \(\dfrac{a^6}{b^3}\).

1.5 Røtter og n-te røtter

\(\sqrt a\) er det ikke-negative tallet som ganget med seg selv gir \(a\). Generelt er \(\sqrt[n]{a}\) tallet som opphøyd i \(n\) gir \(a\). Røtter og potenser henger sammen: \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\).

\(\sqrt a\) er sidelengden i et kvadrat med areal \(a\). Regel — regning med røtter

• \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\) og \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\tfrac ab}\).
• Trekk ut kvadrater: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\).
• \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Eksempel 7 — forenkle rot

\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2.\)

Eksempel 8 — rasjonaliser nevneren

\(\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3.\)

⚠ Vanlig feil

\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\): \(\sqrt{9+16}=5\), men \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\).

✍ Prøv selv

a) \(\sqrt{45}\quad\) b) \(\dfrac{10}{\sqrt5}\quad\) c) \(\sqrt[3]{x^2}\) som potens.

Vis løsning

a) \(3\sqrt5\). b) \(2\sqrt5\). c) \(x^{2/3}\).

1.6 Standardform

Store og små tall blir uleselige med mange nuller. Standardform skriver tallet som \(a\cdot10^n\), der \(1\le|a|<10\) og \(n\) er et helt tall. Positiv \(n\) gir store tall, negativ \(n\) gir små.

Eksempel 9

a) \(48\,000=4{,}8\cdot10^{4}\) (komma flyttet 4 plasser). b) \(0{,}00062=6{,}2\cdot10^{-4}\).

Eksempel 10 — regning

\((3\cdot10^{5})\cdot(2\cdot10^{-2})=6\cdot10^{3}=6000.\)

⚠ Vanlig feil

\(a\) må ligge mellom 1 og 10. \(48\cdot10^{3}\) er ikke standardform — riktig er \(4{,}8\cdot10^{4}\).

✍ Prøv selv

Skriv \(0{,}00305\) på standardform, og regn ut \(\dfrac{8\cdot10^{6}}{4\cdot10^{2}}\).

Vis løsning

\(3{,}05\cdot10^{-3}\); \(2\cdot10^{4}=20000\).

1.7 Kvadratsetningene

Å gange ut parenteser følger distributiv lov: hvert ledd ganges med hvert ledd. Tre spesialtilfeller er så vanlige at de har egne navn — og er verdt å kjenne igjen begge veier.

Regel — de tre kvadratsetningene

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Den første kan «ses» geometrisk: et kvadrat med side \(a+b\) består av et \(a\)-kvadrat, et \(b\)-kvadrat og to like rektangler \(a\cdot b\):

Arealet \((a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\). Eksempel 11

\((2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9.\)

Eksempel 12 — konjugat

\((x-5)(x+5)=x^2-25.\) Det midtre leddet \(-5x+5x\) faller alltid bort.

⚠ Vanlig feil

Det midtre leddet glemmes ofte: \((a+b)^2\neq a^2+b^2\) — det mangler \(2ab\). Test: \((1+2)^2=9\), ikke \(5\).

✍ Prøv selv

a) \((x-4)^2\quad\) b) \((3+a)(3-a)\quad\) c) \((2m+5)^2\)

Vis løsning

a) \(x^2-8x+16\). b) \(9-a^2\). c) \(4m^2+20m+25\). …