Sannsynlighet og kombinatorikk

Sannsynlighet handler om hvor stor sjanse noe har for å skje — et tall mellom 0 (umulig) og 1 (sikkert). Kombinatorikk er kunsten å telle muligheter uten å skrive dem alle opp. Sammen lar de deg regne på terninger, kortstokker, køer og lotto.

8.1 Sannsynlighet

Når alle utfall er like sannsynlige, finner du sannsynligheten for en hendelse ved å telle.

Definisjon

\[P(\text{hendelse})=\dfrac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}\] Alltid \(0\le P\le 1\). \(P=0\) betyr umulig, \(P=1\) betyr sikkert. Eksempel 1 — terning

Kast en terning. Sannsynligheten for et partall:

Gunstige: \(2,4,6\) (tre). Mulige: 6. \(P=\dfrac{3}{6}=\dfrac12\). Eksempel 2 — komplement

Sannsynligheten for ikke å få en sekser er \(P(\text{ikke 6})=1-\dfrac16=\dfrac56\). Regelen \(P(\text{ikke }A)=1-P(A)\) sparer ofte arbeid.

✍ Prøv selv

Trekk ett kort fra 52. a) \(P(\text{hjerter})\)? b) \(P(\text{ikke ess})\)?

Vis løsning

a) \(\tfrac{13}{52}=\tfrac14\). b) \(1-\tfrac{4}{52}=\tfrac{48}{52}=\tfrac{12}{13}\).

8.2 Produktregelen og valgtre

Skjer to uavhengige hendelser etter hverandre, ganger du sannsynlighetene. Et valgtre gjør regningen oversiktlig: hver gren er en mulighet, og du ganger langs grenene.

Valgtre for to myntkast: fire like sannsynlige utfall, hvert med \(\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14\). Eksempel 3

Kast to mynter. Sannsynlighet for to kron (KK):

\(P(\text{KK})=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14\). Sannsynlighet for minst én kron \(=1-P(\text{MM})=1-\tfrac14=\tfrac34\). ✍ Prøv selv

Kast to terninger. \(P(\text{begge seksere})\)?

Vis løsning

\(\tfrac16\cdot\tfrac16=\tfrac{1}{36}\).

8.3 Kombinatorikk

Kombinatorikk teller muligheter. Grunnsteinen er multiplikasjonsprinsippet: skal du velge i flere trinn, ganger du antall muligheter i hvert trinn.

Regel — kombinasjoner

Antall måter å velge \(k\) blant \(n\) (uten rekkefølge): \[\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]der \(n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1\).

Eksempel 4 — multiplikasjonsprinsippet

En meny har 3 forretter og 4 hovedretter. Antall kombinasjoner: \(3\cdot4=12\).

Eksempel 5 — kombinasjoner

På hvor mange måter kan du velge 2 personer blant 5?

\(\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10\). ✍ Prøv selv

a) 4 gensere og 3 bukser — antall antrekk? b) \(\binom{6}{2}\)?

Vis løsning

a) \(12\). b) \(\dfrac{6\cdot5}{2}=15\).

📌 Sammendrag

• \(P=\dfrac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}\), alltid mellom 0 og 1.
• Komplement: \(P(\text{ikke }A)=1-P(A)\).
• Uavhengige hendelser: gang sannsynlighetene (produktregelen); bruk valgtre.
• Multiplikasjonsprinsippet teller valg i flere trinn.
• Kombinasjoner: \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).

🧪 Test deg selv

1. \(P(\text{oddetall})\) på en terning? Svar \(\tfrac12\).
2. \(P(\text{ikke hjerter})\) fra en kortstokk? Svar \(\tfrac{39}{52}=\tfrac34\).
3. \(P\) for tre kron på rad? Svar \((\tfrac12)^3=\tfrac18\).
4. \(\binom{7}{2}\)? Svar 21.
5. 5 retter, 2 desserter — antrekk... måltider? Svar \(5\cdot2=10\).