Polynom- og rasjonale funksjoner er sentrale i 1T. Vi faktoriserer, drøfter andregradsfunksjoner og analyserer asymptoter.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
Polynomfunksjoner er summer av potenser av \(x\), som \(x^3-2x^2-5x+6\). De er «snille» funksjoner med jevne grafer, og de fleste funksjonene du møter i 1T er bygd av dem. Rasjonale funksjoner er brøker av polynomer — der dukker det opp forbudte \(x\)-verdier og asymptoter. I dette kapittelet faktoriserer vi, deler polynomer og drøfter fortegn.
4.1 Polynomfunksjoner
Et polynom er en sum av ledd på formen (tall)\(\cdot x^{\text{potens}}\), for eksempel \(f(x)=2x^3-4x^2+x-7\). Den høyeste potensen kalles graden. En andregradsfunksjon har grad 2, en tredjegradsfunksjon grad 3.
Eksempel 1 — regn ut en funksjonsverdi
\(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\). Finn \(f(1)\).
\(f(1)=1-2-5+6=0\). Altså er \(x=1\) et nullpunkt! ✍ Prøv selv
\(g(x)=2x^2-3x+1\). Finn \(g(2)\) og \(g(-1)\).
Vis løsning
\(g(2)=8-6+1=3\); \(g(-1)=2+3+1=6\).
4.2 Nullpunkter ved faktorisering
Nullpunktene til et polynom er der grafen skjærer \(x\)-aksen. Har du faktorisert polynomet, leser du nullpunktene rett ut: et produkt er 0 bare når en faktor er 0.
Eksempel 2
\(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Nullpunkter: \(x=2\) og \(x=3\).
Eksempel 3 — felles faktor først
\(f(x)=x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). Nullpunkter: \(x=0,\ 2,\ -2\).
✍ Prøv selv
Finn nullpunktene til \(f(x)=x^3-x\).
Vis løsning
\(x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=0,1,-1\).
4.3 Polynomdivisjon og faktorteoremet
Faktorteoremet
Hvis \(f(a)=0\), så er \((x-a)\) en faktor i \(f(x)\). Da kan du dele \(f(x)\) på \((x-a)\) og få et polynom av lavere grad — som ofte er lettere å faktorisere videre.
Eksempel 4 — full faktorisering
Faktoriser \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
Vi fant \(f(1)=0\), så \((x-1)\) er en faktor. Polynomdivisjon: \((x^3-2x^2-5x+6):(x-1)=x^2-x-6\). \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Altså \(f(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\), nullpunkter \(1,3,-2\). ✍ Prøv selv
\(f(x)=x^3-3x^2+2x\) har \(f(0)=0\). Faktoriser helt. …