Likninger, identiteter og ulikheter

En likning er sann for noen verdier av \(x\); en identitet er sann for alle. Å se forskjellen — og å kunne bevise en identitet — er kjernen i algebraisk tenkning. I dette kapittelet bruker vi kvadratsetningene og faktorisering til å omforme uttrykk, og vi lærer å løse ut en variabel fra en formel.

2.1 Likning eller identitet?

Definisjon

• En likning er sann bare for bestemte \(x\): \(2x+1=7\) er sann kun når \(x=3\).
• En identitet er sann for alle \(x\): \((x+1)^2=x^2+2x+1\) stemmer uansett hva \(x\) er.

Eksempel 1 — test med tall

Er \(3(x-2)=3x-6\) en identitet? Test \(x=5\): venstre \(3\cdot3=9\), høyre \(15-6=9\). Test \(x=0\): begge \(-6\). Det stemmer alltid — en identitet.

✍ Prøv selv

Er \(2x+4=2(x+2)\) en likning eller identitet?

Vis løsning

Identitet — høyre side ganges ut til venstre for alle \(x\).

2.2 Kvadratsetningene som identiteter

Kvadratsetningene er identiteter du bruker begge veier — til å gange ut og til å faktorisere. Den første kan «ses» som et areal:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — arealet av hele kvadratet. De tre identitetene

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Eksempel 2

\((x+4)^2=x^2+8x+16\) og \((x-3)(x+3)=x^2-9\). Baklengs: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\).

✍ Prøv selv

Skriv \(x^2-49\) som produkt, og gang ut \((2x-1)^2\).

Vis løsning

\((x-7)(x+7)\); \(4x^2-4x+1\).

2.3 Å bevise en identitet

For å bevise at to uttrykk er like for alle \(x\), omformer du den ene siden med algebra til den blir lik den andre. Å teste tall er en god sjekk, men ikke et bevis.

Eksempel 3 — bevis

Vis at \((x+1)^2-(x-1)^2=4x\).

\((x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)\). \(=x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x\). \(\blacksquare\) ✍ Prøv selv

Vis at \((x+2)^2-4x=x^2+4\).

Vis løsning

\(x^2+4x+4-4x=x^2+4\). \(\blacksquare\)

2.4 Løse ut en variabel

En formel er en identitet med flere bokstaver. Å «løse ut» en variabel betyr å få den alene — samme regler som for likninger.

Eksempel 4

\(A=\dfrac{g\cdot h}{2}\). Løs ut \(h\).

Gang med 2: \(2A=gh\). Del på \(g\): \(h=\dfrac{2A}{g}\). Eksempel 5

\(O=2(l+b)\). Løs ut \(b\): \(\dfrac{O}{2}=l+b\Rightarrow b=\dfrac{O}{2}-l\).

✍ Prøv selv

Løs ut \(r\) fra \(O=2\pi r\).

Vis løsning

\(r=\dfrac{O}{2\pi}\).

📌 Sammendrag

• Likning: sann for noen \(x\). Identitet: sann for alle.
• Kvadratsetningene er identiteter — gange ut og faktorisere.
• Bevis en identitet ved å omforme den ene siden til den andre.
• Løs ut en variabel med samme regler som likninger.

🧪 Test deg selv

1. Er \(x^2=9\) likning eller identitet? Svar Likning (\(x=\pm3\)).
2. Gang ut \((x-6)^2\). Svar \(x^2-12x+36\).
3. Faktoriser \(x^2-64\). Svar \((x-8)(x+8)\).
4. Løs ut \(h\) fra \(V=\pi r^2 h\). Svar \(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\).