I dette kapittelet bygger vi bro mellom algebra og likningsteorien. Du lærer å kjenne igjen identiteter, faktorisere uttrykk med felles faktor, sum-produktmetoden og kvadratsetningene, løse lineære likninger og likningssystemer, og bruke abc-formelen på alle andregradslikninger.
Kapittel 2: Likninger og identiteter
Matematikk 1T – VG1 — Premium ifingo-innhold
🎯 Kompetansemål (LK20)
- Anvende og begrunne parentesregler og algebraiske identiteter
- Faktorisere uttrykk (felles faktor, sum-produkt, kvadratsetninger)
- Løse lineære likninger og likningssystemer algebraisk
- Løse andregradslikninger og bruke diskriminanten
- Bruke digitale verktøy (CAS, Python) til likningsløsing
📚 Innhold- 2A Identiteter og parentesregler
- 2B Faktorisering
- 2C Kvadratsetningene
- 2D Likninger
- 2E Andregradslikninger
- 2F abc-formelen
- Python-kode
- GeoGebra-kommandoer
2A Identiteter og parentesregler
Algebraisk uttrykk, likning og identitet
| Type | Definisjon | Eksempel |
|---|
| Algebraisk uttrykk | Tall og bokstaver – intet likhetstegn | \(3x^2 + 5x - 7\) |
| Likning | To uttrykk satt lik hverandre; har en eller flere ukjente | \(3x+2=11\) |
| Identitet | Gjelder for alle verdier av de ukjente | \(a(b+c)=ab+ac\) |
Parentesreglene
- \(a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c\) (assosiativ lov)
- \(a-(b+c)=a-b-c\)
- \(a(b+c)=ab+ac\) (distributiv lov)
- \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)
Eksempel: Regn ut \(5x-3(2x-4)\).
\(=5x-6x+12=-x+12\)
Identitetssjekk: Bestem \(m\) og \(n\) slik at \(6x-2(x+3)=mx+n\) er en identitet.
\(6x-2x-6=4x-6\), så \(m=4,\;n=-6\).
2B Faktorisering
Å faktorisere vil si å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer.
Trinn 1 – Felles faktor
\[ x^2+5x = x(x+5) \]
Eksempel: Faktoriser \(12a^2b-8ab^2\).
\(=4ab(3a-2b)\)
Trinn 2 – Sum-produktmetoden
Vi bruker identiteten \((x+m)(x+n)=x^2+(m+n)x+mn\) baklengs:
\[ x^2+bx+c = (x+m)(x+n) \quad \text{der } m+n=b \text{ og } m\cdot n=c \]
Eksempel: Faktoriser \(x^2-3x-10\).
Vi trenger \(m+n=-3\) og \(m\cdot n=-10\). Prøv \(-5\) og \(2\): \(-5+2=-3\) ✓, \(-5\cdot 2=-10\) ✓.
\(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\)
Primtallsfaktorisering
Skriv et heltall som produkt av primtall: \(630=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\). …