I dette kapittelet bygger vi bro mellom algebra og likningsteorien. Du lærer å kjenne igjen identiteter, faktorisere uttrykk med felles faktor, sum-produktmetoden og kvadratsetningene, løse lineære likninger og likningssystemer, og bruke abc-formelen på alle andregradslikninger.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
En likning er sann for noen verdier av \(x\); en identitet er sann for alle. Å se forskjellen — og å kunne bevise en identitet — er kjernen i algebraisk tenkning. I dette kapittelet bruker vi kvadratsetningene og faktorisering til å omforme uttrykk, og vi lærer å løse ut en variabel fra en formel.
2.1 Likning eller identitet?
Definisjon
- En likning er sann bare for bestemte \(x\): \(2x+1=7\) er sann kun når \(x=3\).
- En identitet er sann for alle \(x\): \((x+1)^2=x^2+2x+1\) stemmer uansett hva \(x\) er.
Eksempel 1 — test med tall
Er \(3(x-2)=3x-6\) en identitet? Test \(x=5\): venstre \(3\cdot3=9\), høyre \(15-6=9\). Test \(x=0\): begge \(-6\). Det stemmer alltid — en identitet.
✍ Prøv selv
Er \(2x+4=2(x+2)\) en likning eller identitet?
Vis løsning
Identitet — høyre side ganges ut til venstre for alle \(x\).
2.2 Kvadratsetningene som identiteter
Kvadratsetningene er identiteter du bruker begge veier — til å gange ut og til å faktorisere. Den første kan «ses» som et areal:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — arealet av hele kvadratet. De tre identitetene
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
Eksempel 2
\((x+4)^2=x^2+8x+16\) og \((x-3)(x+3)=x^2-9\). Baklengs: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\).
✍ Prøv selv
Skriv \(x^2-49\) som produkt, og gang ut \((2x-1)^2\).
Vis løsning
\((x-7)(x+7)\); \(4x^2-4x+1\).
2.3 Å bevise en identitet
For å bevise at to uttrykk er like for alle \(x\), omformer du den ene siden med algebra til den blir lik den andre. Å teste tall er en god sjekk, men ikke et bevis.
Eksempel 3 — bevis
Vis at \((x+1)^2-(x-1)^2=4x\).
\((x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)\). \(=x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x\). \(\blacksquare\) ✍ Prøv selv
Vis at \((x+2)^2-4x=x^2+4\).
Vis løsning
\(x^2+4x+4-4x=x^2+4\). \(\blacksquare\) …