Lineære og kvadratiske likninger, abc-formelen, ulikheter, fortegnsskjema og likningssystemer.
Kapittel 2: Likninger og ulikheter
📚 Kompetansemål (LK20)
I dette kapittelet skal vi arbeide med følgende mål fra læreplanen i 1T:
- Løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle rasjonale likninger og ulikheter.
- Bruke ulike strategier for å løse likninger og ulikheter, inkludert algebraisk løsning og bruk av digitale verktøy.
- Formulere og løse problemer ved hjelp av likninger og ulikheter knyttet til praktiske situasjoner.
- Forstå sammenhengen mellom algebraiske løsninger og grafiske framstillinger.
Innholdsfortegnelse
- 2.1 Hva er en likning? Grunnleggende prinsipper
- 2.2 Lineære likninger og parenteser
- 2.3 Andregradslikninger - ABC-formelen og faktorisering
- 2.4 Rasjonale likninger og falske løsninger
- 2.5 Lineære og polynomulikheter (Fortegnsskjema)
- 2.6 Rasjonale ulikheter
- 2.7 Likningssystemer med to ukjente
- 2.8 Oppsummering og eksamenstips
- 2.9 Oppgavebank med fasit
2.1 Hva er en likning? Grunnleggende prinsipper
En likning er et matematisk utsagn som sier at to uttrykk er like store. Vi bruker likhetstegnet ($=$) for å skille venstresiden ($VS$) fra høyresiden ($HS$). Målet med å løse en likning er å finne den verdien for den ukjente (ofte $x$) som gjør at utsagnet er sant.
🔑 Hovedprinsippet: Balanse
Tenk på en likning som en skålvekt. For at vekten skal forbli i balanse, må vi gjøre nøyaktig det samme på begge sider av likhetstegnet:
- Legge til det samme tallet: $a = b \implies a + c = b + c$
- Trekk fra det samme tallet: $a = b \implies a - c = b - c$
- Gange med det samme tallet (unntatt null): $a = b \implies a \cdot c = b \cdot c$
- Dividere med det samme tallet (unntatt null): $a = b \implies \frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
2.2 Lineære likninger og parenteser
Lineære likninger (førstegradslikninger) er likninger der den ukjente $x$ bare forekommer i første potens. Vi løser disse ved å isolere $x$ på den ene siden av likhetstegnet.
✏️ Eksempel 1: Enkel lineær likning
Løs likningen: $4x - 7 = 2x + 5$
Løsning:
1. Samle alle ledd med $x$ på venstre side og tall på høyre side:
$4x - 2x = 5 + 7$
2. Trekk sammen leddene:
$2x = 12$
3. Divider med faktoren foran $x$:
$\frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \implies x = 6$
Når vi har parenteser, må vi først løse opp disse. Husk fortegnsreglene: En minus foran en parentes betyr at alle tegn inni parentesen endres når den fjernes.
✏️ Eksempel 2: Likning med parenteser
Løs likningen: $3(x - 2) - 2(2x + 1) = 5$
Løsning:
1. Multipliser inn i parentesene:
$3x - 6 - (4x + 2) = 5$
$3x - 6 - 4x - 2 = 5$
2. Trekk sammen på venstresiden:
$-x - 8 = 5$
3. Flytt over tallet:
$-x = 5 + 8 \implies -x = 13$ …