Geometri

Geometri handler om form, lengde, vinkel og areal. To verktøy bærer det meste i 1T: Pytagoras' setning, som binder sammen sidene i en rettvinklet trekant, og formlikhet, som lar oss regne på figurer vi ikke kan måle direkte. Med disse kan du finne høyder, avstander og areal i praktiske situasjoner.

5.1 Pytagoras' setning

I en rettvinklet trekant kalles de to korte sidene kateter og den lengste (motsatt den rette vinkelen) hypotenus. Pytagoras' setning knytter dem sammen.

Kateter \(a\) og \(b\), hypotenus \(c\), rett vinkel nede til venstre. Pytagoras' setning

\[a^2+b^2=c^2\] Summen av kvadratene på katetene er lik kvadratet på hypotenusen. Eksempel 1 — finn hypotenusen

Kateter \(a=3\) og \(b=4\). Finn \(c\).

\(c^2=3^2+4^2=9+16=25\). \(c=\sqrt{25}=5\). Eksempel 2 — finn en katet

Hypotenus \(c=13\), katet \(a=5\). Finn \(b\).

\(b^2=c^2-a^2=169-25=144\Rightarrow b=12\). ⚠ Vanlig feil

Hypotenusen er alltid den lengste siden og står alene på høyre side i \(a^2+b^2=c^2\). Skal du finne en katet, trekker du fra: \(b^2=c^2-a^2\).

✍ Prøv selv

a) Kateter 6 og 8 — finn \(c\). b) Hypotenus 10, katet 6 — finn den andre kateten.

Vis løsning

a) \(c=\sqrt{100}=10\). b) \(\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\).

5.2 Formlikhet

To figurer er formlike hvis de har samme form men ulik størrelse — som et bilde og en forstørrelse. Da er vinklene like og de samsvarende sidene står i samme forhold (skaleringsfaktoren).

Formlike trekanter: alle sider dobles (skaleringsfaktor 2). Regel

I formlike figurer: \(\dfrac{\text{side i figur 2}}{\text{samsvarende side i figur 1}}=k\) (samme \(k\) for alle sider).

Eksempel 3

To formlike trekanter: den lille har sider 3, 4, 5. Den store har korteste side 9. Finn de to andre sidene.

Skaleringsfaktor \(k=\dfrac{9}{3}=3\). De andre sidene: \(4\cdot3=12\) og \(5\cdot3=15\). ✍ Prøv selv

En modell er formlik med et hus i forhold 1:50. Modellen er 30 cm høy. Hvor høyt er huset?

Vis løsning

\(30\cdot50=1500\) cm \(=15\) m.

5.3 Areal, omkrets og vinkler

Formler du bør kunne

• Trekant: areal \(=\dfrac{g\cdot h}{2}\).
• Rektangel: areal \(=l\cdot b\), omkrets \(=2(l+b)\).
• Sirkel: areal \(=\pi r^2\), omkrets \(=2\pi r\).
• Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).

Eksempel 4

En trekant har grunnlinje 8 og høyde 5. Areal \(=\dfrac{8\cdot5}{2}=20\).

Eksempel 5 — vinkel

To vinkler i en trekant er \(50^\circ\) og \(70^\circ\). Den tredje er \(180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\).

✍ Prøv selv

a) Areal av en sirkel med radius 3 (bruk \(\pi\approx3{,}14\)). b) Tredje vinkel når to er \(90^\circ\) og \(35^\circ\).

Vis løsning

a) \(\pi\cdot9\approx28{,}3\). b) \(55^\circ\).

📌 Sammendrag

• Pytagoras: \(a^2+b^2=c^2\) i rettvinklede trekanter; \(c\) er hypotenusen.
• Formlike figurer: like vinkler, samsvarende sider i samme forhold \(k\).
• Areal: trekant \(\tfrac{gh}{2}\), rektangel \(lb\), sirkel \(\pi r^2\).
• Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).

🧪 Test deg selv

1. Kateter 5 og 12 — hypotenus? Svar \(\sqrt{169}=13\).
2. Hypotenus 17, katet 8 — annen katet? Svar \(\sqrt{225}=15\).
3. Skaleringsfaktor når 4 blir 10? Svar \(k=2{,}5\).
4. Areal av trekant med \(g=10,\ h=6\)? Svar 30.
5. To vinkler er \(45^\circ\) og \(65^\circ\); den tredje? Svar \(70^\circ\).