Geometri

Geometri i 1T omfatter Pytagoras, formlikhet, kongruens, areal/volum og trigonometri i rettvinklet trekant.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-31

Geometri handler om form, lengde, vinkel og areal. To verktøy bærer det meste i 1T: Pytagoras' setning, som binder sammen sidene i en rettvinklet trekant, og formlikhet, som lar oss regne på figurer vi ikke kan måle direkte. Med disse kan du finne høyder, avstander og areal i praktiske situasjoner.

5.1 Pytagoras' setning

I en rettvinklet trekant kalles de to korte sidene kateter og den lengste (motsatt den rette vinkelen) hypotenus. Pytagoras' setning knytter dem sammen.

Kateter \(a\) og \(b\), hypotenus \(c\), rett vinkel nede til venstre. Pytagoras' setning

\[a^2+b^2=c^2\] Summen av kvadratene på katetene er lik kvadratet på hypotenusen. Eksempel 1 — finn hypotenusen

Kateter \(a=3\) og \(b=4\). Finn \(c\).

\(c^2=3^2+4^2=9+16=25\). \(c=\sqrt{25}=5\). Eksempel 2 — finn en katet

Hypotenus \(c=13\), katet \(a=5\). Finn \(b\).

\(b^2=c^2-a^2=169-25=144\Rightarrow b=12\). ⚠ Vanlig feil

Hypotenusen er alltid den lengste siden og står alene på høyre side i \(a^2+b^2=c^2\). Skal du finne en katet, trekker du fra: \(b^2=c^2-a^2\).

✍ Prøv selv

a) Kateter 6 og 8 — finn \(c\). b) Hypotenus 10, katet 6 — finn den andre kateten.

Vis løsning

a) \(c=\sqrt{100}=10\). b) \(\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\).

5.2 Formlikhet

To figurer er formlike hvis de har samme form men ulik størrelse — som et bilde og en forstørrelse. Da er vinklene like og de samsvarende sidene står i samme forhold (skaleringsfaktoren).

Formlike trekanter: alle sider dobles (skaleringsfaktor 2). Regel

I formlike figurer: \(\dfrac{\text{side i figur 2}}{\text{samsvarende side i figur 1}}=k\) (samme \(k\) for alle sider).

Eksempel 3

To formlike trekanter: den lille har sider 3, 4, 5. Den store har korteste side 9. Finn de to andre sidene.

Skaleringsfaktor \(k=\dfrac{9}{3}=3\). De andre sidene: \(4\cdot3=12\) og \(5\cdot3=15\). ✍ Prøv selv

En modell er formlik med et hus i forhold 1:50. Modellen er 30 cm høy. Hvor høyt er huset?

Vis løsning

\(30\cdot50=1500\) cm \(=15\) m.

5.3 Areal, omkrets og vinkler

Formler du bør kunne
  • Trekant: areal \(=\dfrac{g\cdot h}{2}\).
  • Rektangel: areal \(=l\cdot b\), omkrets \(=2(l+b)\).
  • Sirkel: areal \(=\pi r^2\), omkrets \(=2\pi r\).
  • Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).
Eksempel 4

En trekant har grunnlinje 8 og høyde 5. Areal \(=\dfrac{8\cdot5}{2}=20\).

Eksempel 5 — vinkel

To vinkler i en trekant er \(50^\circ\) og \(70^\circ\). Den tredje er \(180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\).

✍ Prøv selv

a) Areal av en sirkel med radius 3 (bruk \(\pi\approx3{,}14\)). b) Tredje vinkel når to er \(90^\circ\) og \(35^\circ\).

Vis løsning

a) \(\pi\cdot9\approx28{,}3\). b) \(55^\circ\).

📌 Sammendrag

  • Pytagoras: \(a^2+b^2=c^2\) i rettvinklede trekanter; \(c\) er hypotenusen.
  • Formlike figurer: like vinkler, samsvarende sider i samme forhold \(k\).
  • Areal: trekant \(\tfrac{gh}{2}\), rektangel \(lb\), sirkel \(\pi r^2\).
  • Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).
🧪 Test deg selv
  1. Kateter 5 og 12 — hypotenus? Svar \(\sqrt{169}=13\).
  2. Hypotenus 17, katet 8 — annen katet? Svar \(\sqrt{225}=15\).
  3. Skaleringsfaktor når 4 blir 10? Svar \(k=2{,}5\).
  4. Areal av trekant med \(g=10,\ h=6\)? Svar 30.
  5. To vinkler er \(45^\circ\) og \(65^\circ\); den tredje? Svar \(70^\circ\).

Åpen undervisning · full fasit

Geometri og bevis – komplett undervisning

Lær vinkler, formlikhet, Pytagoras, målestokk, areal, volum, konstruksjon og geometrisk bevis med trinnvise eksempler og full fasit.

Målet er å gå fra det du ser i figuren til det du kan begrunne matematisk. En skisse kan hjelpe deg å oppdage et mønster, men den er ikke et bevis. I geometri må du skille mellom det som er gitt, det du kan utlede med en kjent regel, og det du til slutt kan konkludere med.

1. Geometrisk språk: hva er gitt, og hva skal vises?

Start med å markere punkter, linjer, vinkler og lengder. En vinkel skrives for eksempel ∠ABC, der B er toppunktet. Parallelle linjer kan gi samsvarende og alternerende vinkler, mens en rett linje gir vinkelsum 180°. En full omdreining er 360°.

SituasjonRegelHva må være etablert?
Vinkler på en rett linjeSummen er 180°.Vinklene ligger langs samme rette linje.
Vinkler rundt et punktSummen er 360°.Vinklene dekker én hel omdreining.
Parallelle linjer og transversalSamsvarende og alternerende vinkler er like.Linjenes parallellitet må være gitt eller bevist.
TrekantVinkelsummen er 180°.Figuren er en trekant i planet.

Eksempel 1: Vinkler i en trekant

I en trekant er to vinkler 48° og 67°. Finn den tredje.

  1. Steg 1: Vinkelsummen i en trekant er 180°.
  2. Steg 2: Den tredje vinkelen er 180°−48°−67°.
  3. Steg 3: 180−115=65.

Svar: Den tredje vinkelen er 65°.

2. Kongruens og formlikhet er ikke det samme

Kongruente figurer har samme form og samme størrelse. Formlike figurer har samme form, men kan ha ulik størrelse. For trekanter er AAA nok til å vise formlikhet, men ikke kongruens. Når to trekanter er formlike, er samsvarende vinkler like og samsvarende sider proporsjonale.

Eksempel 2: Formlike trekanter

To trekanter er formlike. I den lille trekanten er en side 6 cm og den samsvarende siden i den store er 15 cm. En annen side i den lille er 8 cm. Finn den samsvarende siden i den store.

  1. Steg 1: Målestokkfaktoren fra liten til stor er 15/6=2,5.
  2. Steg 2: Den ukjente siden blir 8·2,5=20.
  3. Steg 3: Kontroller at samme faktor brukes på samsvarende lengder.

Svar: Den samsvarende siden er 20 cm.

Eksempel 3: Hvorfor AAA ikke gir kongruens

To trekanter har vinklene 40°, 60° og 80°. Kan du konkludere med at de er kongruente?

  1. Steg 1: Like vinkler i samme rekkefølge gir formlikhet.
  2. Steg 2: Formlikhet bestemmer formen, men ikke størrelsen.
  3. Steg 3: Den ene trekanten kan være en forstørret versjon av den andre.

Svar: Nei. AAA viser formlikhet, ikke kongruens.

3. Pytagoras – med vilkår

I en rettvinklet trekant med kateter a og b og hypotenus c gjelder a²+b²=c². Hypotenusen ligger alltid mot den rette vinkelen. Pytagoras kan bare brukes direkte når trekanten er rettvinklet.

Eksempel 4: Finn hypotenusen

En rettvinklet trekant har kateter 6 cm og 8 cm. Finn hypotenusen.

  1. Steg 1: Bruk Pytagoras: c²=6²+8².
  2. Steg 2: c²=36+64=100.
  3. Steg 3: Lengder er positive, så c=√100=10.

Svar: Hypotenusen er 10 cm.

Eksempel 5: Den omvendte Pytagoras-setningen

En trekant har sider 5 cm, 12 cm og 13 cm. Er den rettvinklet?

  1. Steg 1: Den lengste siden er 13 cm og må være kandidat til hypotenus.
  2. Steg 2: 5²+12²=25+144=169.
  3. Steg 3: 13²=169.
  4. Steg 4: Siden summen av kvadratene av de to korteste sidene er lik kvadratet av den lengste, er trekanten rettvinklet.

Svar: Ja, trekanten er rettvinklet.

4. Målestokk: lengde, areal og volum skalerer ulikt

Hvis alle lengder skaleres med faktor k, skaleres areal med k² og volum med k³. Dette er en vanlig kilde til feil: en figur som dobles i lengde får fire ganger så stort areal og åtte ganger så stort volum.

StørrelseSkaleringsfaktorHvis k=3
Lengdek3 ganger så stor.
Arealk²9 ganger så stort.
Volumk³27 ganger så stort.

Eksempel 6: Areal ved forstørring

Et rektangel har areal 24 cm². Alle lengder forstørres med faktor 1,5. Finn nytt areal.

  1. Steg 1: Areal skaleres med 1,5².
  2. Steg 2: 1,5²=2,25.
  3. Steg 3: 24·2,25=54.

Svar: Det nye arealet er 54 cm².

Eksempel 7: Volum ved forstørring

En modell har volum 80 cm³. En ny modell bygges med dobbelt så lange mål. Finn nytt volum.

  1. Steg 1: Lengdefaktoren er k=2.
  2. Steg 2: Volumfaktoren er 2³=8.
  3. Steg 3: 80·8=640.

Svar: Det nye volumet er 640 cm³.

5. Areal og volum: velg riktig geometrisk modell

En formel er bare nyttig hvis figuren faktisk passer modellen. For en trekant er A=gh/2, der høyden står vinkelrett på grunnlinjen. For et prisme er V=G·h, der G er grunnflatens areal. En sylinder er et prisme med sirkel som grunnflate, slik at V=πr²h.

Eksempel 8: Trekantsareal

En trekant har grunnlinje 12 cm og vinkelrett høyde 7 cm.

  1. Steg 1: Bruk A=gh/2.
  2. Steg 2: A=12·7/2.
  3. Steg 3: A=42.

Svar: Arealet er 42 cm².

Eksempel 9: Volum av sylinder

En sylinder har radius 3 cm og høyde 10 cm.

  1. Steg 1: Grunnflaten er en sirkel: G=π·3²=9π.
  2. Steg 2: V=G·h=9π·10=90π.
  3. Steg 3: Omtrent 90π≈282,7.

Svar: Volumet er 90π cm³≈282,7 cm³.

6. Bevis: fra påstand til begrunnet konklusjon

Et matematisk bevis forklarer hvorfor en påstand må være sann under de oppgitte vilkårene. En ryddig struktur er: skriv hva som er gitt, angi regelen eller setningen du bruker, utled neste steg og avslutt med konklusjonen. En figur kan støtte tanken, men må ikke brukes som eneste argument.

Eksempel 10: Bevis at to vinkler er like

To parallelle linjer skjæres av en transversal. Vis at et par alternerende vinkler er like.

  1. Steg 1: Det er gitt at linjene er parallelle.
  2. Steg 2: Når en transversal skjærer to parallelle linjer, er samsvarende vinkler like.
  3. Steg 3: En samsvarende vinkel og den aktuelle alternerende vinkelen danner toppvinkler i samme skjæringspunkt, og toppvinkler er like.
  4. Steg 4: Ved transitivitet er de to alternerende vinklene like.

Konklusjon: De alternerende vinklene er like fordi parallellitet og vinkelreglene tvinger fram samme vinkelmål.

7. Konstruksjon og kontroll

Ved geometrisk konstruksjon må hvert trinn ha en geometrisk grunn. En midtnormal består av punktene som ligger like langt fra endepunktene på et linjestykke. En vinkelhalveringslinje deler en vinkel i to like store vinkler. Digitale verktøy kan tegne konstruksjonen, men du skal fortsatt kunne forklare hvorfor konstruksjonen virker.

Eksempel 11: Midtnormal som sted

Hvorfor ligger et punkt P på midtnormalen til AB når PA=PB?

  1. Steg 1: Midtnormalen er definert som linjen gjennom midtpunktet av AB som står vinkelrett på AB.
  2. Steg 2: Et sentralt stedsteorem sier at alle punkter på midtnormalen ligger like langt fra A og B.
  3. Steg 3: Omvendt gjelder også: alle punkter som ligger like langt fra A og B, ligger på midtnormalen.

Svar: Lik avstand til A og B kjennetegner punktene på midtnormalen.

Eksamensverksted: figur → vilkår → regel → begrunnelse

  1. Les figuren kritisk: Marker bare det som faktisk er gitt. Ikke anta målestokk.
  2. Finn vilkårene: Er linjene parallelle? Er trekanten rettvinklet? Er figurene formlike?
  3. Velg setning: Vinkelsum, formlikhet, Pytagoras, areal-/volumformel eller annen etablert regel.
  4. Vis mellomsteg: Skriv hvilke sider eller vinkler som svarer til hverandre.
  5. Kontroller enheten: Lengde måles i enheter, areal i kvadrerte enheter og volum i kubikkenheter.
  6. Begrunn konklusjonen: Et tall eller en figur alene er ikke en full løsning.

Tren selv – med fullstendig fasit

Oppgave 1: Vinkelsum

En trekant har vinkler 35° og 79°. Finn den tredje.

Fullstendig fasit

Steg 1: Trekantsummen er 180°. Steg 2: 180−35−79=66. Svar: 66°.

Oppgave 2: Formlikhet

En liten trekant har side 4 cm som svarer til 10 cm i en stor trekant. En annen liten side er 7 cm. Finn den store.

Fullstendig fasit

Steg 1: k=10/4=2,5. Steg 2: 7·2,5=17,5. Svar: 17,5 cm.

Oppgave 3: Pytagoras

Katetene er 9 cm og 12 cm. Finn hypotenusen.

Fullstendig fasit

Steg 1: c²=9²+12²=81+144=225. Steg 2: c=15. Svar: 15 cm.

Oppgave 4: Omvendt Pytagoras

Har sidene 7, 24 og 25 en rett vinkel?

Fullstendig fasit

Steg 1: 7²+24²=49+576=625. Steg 2: 25²=625. Svar: Ja, trekanten er rettvinklet.

Oppgave 5: Arealskalering

Lengdene i en figur tredobles. Hvor mange ganger større blir arealet?

Fullstendig fasit

Steg 1: k=3. Steg 2: Arealfaktor k²=9. Svar: 9 ganger større.

Oppgave 6: Volumskalering

Alle lengder halveres. Hva skjer med volumet?

Fullstendig fasit

Steg 1: k=1/2. Steg 2: Volumfaktor (1/2)³=1/8. Svar: Volumet blir en åttedel.

Oppgave 7: Trekantsareal

Grunnlinjen er 15 m og den vinkelrette høyden 8 m. Finn arealet.

Fullstendig fasit

Steg 1: A=gh/2. Steg 2: 15·8/2=60. Svar: 60 m².

Oppgave 8: Begrunnelse

Hvorfor kan du ikke bruke Pytagoras direkte i en vilkårlig trekant?

Fullstendig fasit

Svar: Pytagoras-setningen a²+b²=c² har som vilkår at trekanten er rettvinklet og at c er hypotenusen. Uten dette vilkåret er setningen ikke direkte anvendbar.

Sjekkliste før du går videre

  • Jeg skiller mellom det figuren antyder og det som faktisk er gitt eller bevist.
  • Jeg kan bruke vinkelregler og trekantens vinkelsum med tydelig begrunnelse.
  • Jeg skiller formlikhet fra kongruens og finner samsvarende sider korrekt.
  • Jeg bruker Pytagoras bare når rettvinklet-vilkåret er etablert.
  • Jeg vet at lengde, areal og volum skaleres med henholdsvis k, k² og k³.
  • Jeg velger areal- og volumformel etter den faktiske geometriske modellen.
  • Jeg kan skrive et kort geometrisk bevis som gitt → regel → utledning → konklusjon.

Veien videre i Matematikk 1T

Neste kapittel er trigonometri, der du bruker presise forhold mellom sider og vinkler. Trenger du mer trening i argumentasjon, kan du også gå til bevis og begrunnelser. Premiumbanken under kapitlet beholder ekstra oppgaver og progresjon.

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo