Funksjoner og polynomfunksjoner

En funksjon er en regel som gjør om ett tall til et annet — som en maskin: du putter inn \(x\), og ut kommer \(f(x)\). I dette kapittelet lærer du funksjonsbegrepet, hvordan grafen leses i koordinatsystemet, og hvordan lineære og kvadratiske funksjoner oppfører seg. Funksjoner er selve språket resten av matematikken snakker.

3.1 Hva er en funksjon?

En funksjon \(f\) knytter til hvert tall \(x\) nøyaktig ett tall \(f(x)\). Vi skriver ofte \(y=f(x)\), der \(x\) er det vi setter inn og \(y\) er svaret.

En funksjon som en maskin: inn med \(x\), ut med \(f(x)\). Eksempel 1 — regne ut funksjonsverdier

La \(f(x)=2x+3\). Regn ut \(f(4)\) og \(f(-1)\).

\(f(4)=2\cdot4+3=11\). \(f(-1)=2\cdot(-1)+3=1\). Eksempel 2

La \(g(x)=x^2-2x\). Finn \(g(3)\).

\(g(3)=3^2-2\cdot3=9-6=3\). ⚠ Vanlig feil

\(f(x)\) betyr «funksjonen \(f\) av \(x\)» — det er ikke \(f\) ganger \(x\). Og hver \(x\) gir bare ett svar; en «funksjon» som gir to \(y\)-verdier for samme \(x\) er ikke en funksjon.

✍ Prøv selv

La \(f(x)=3x-5\). Finn a) \(f(2)\)\quad b) \(f(0)\)\quad c) \(x\) når \(f(x)=7\).

Vis løsning

a) \(1\). b) \(-5\). c) \(3x-5=7\Rightarrow x=4\).

3.2 Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden \(D_f\) er alle \(x\)-verdiene funksjonen tillater. Verdimengden \(V_f\) er alle \(y\)-verdiene den kan gi.

Merk — når må vi passe på?

To ting begrenser definisjonsmengden: vi kan ikke dele på 0, og vi kan ikke ta kvadratrot av et negativt tall. For \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) er \(D_f\) alle tall unntatt \(x=2\).

Eksempel 3

Finn definisjonsmengden til \(f(x)=\sqrt{x-3}\).

Vi trenger \(x-3\ge0\), altså \(x\ge3\). \(D_f=[3,\to\rangle\). ✍ Prøv selv

Finn \(D_f\) for a) \(f(x)=\dfrac{5}{x+1}\)\quad b) \(f(x)=\sqrt{2x}\).

Vis løsning

a) alle \(x\neq-1\). b) \(x\ge0\).

3.3 Grafen i koordinatsystemet

Grafen til en funksjon er alle punktene \((x,\ f(x))\) tegnet i et koordinatsystem. Vi lager en verditabell, plotter punktene og trekker en jevn kurve.

Grafen til \(y=f(x)\): hvert punkt er \((x,\ f(x))\). Slik leser du grafen

• For en gitt \(x\): gå opp til grafen og bortover til \(y\)-aksen for å lese av \(f(x)\).
• Der grafen skjærer \(x\)-aksen er \(f(x)=0\) (nullpunkt).
• Der grafen skjærer \(y\)-aksen er \(x=0\), altså verdien \(f(0)\).

✍ Prøv selv

Lag verditabell for \(f(x)=x-1\) med \(x=-1,0,1,2,3\) og beskriv grafen.

Vis løsning

\(f=-2,-1,0,1,2\). En rett linje som skjærer \(x\)-aksen i \(x=1\) og \(y\)-aksen i \(-1\).

3.4 Lineære funksjoner

En lineær funksjon har formen \(f(x)=ax+b\) og gir alltid en rett linje. Tallet \(a\) er stigningstallet (hvor bratt linja er) og \(b\) er konstantleddet (der linja skjærer \(y\)-aksen).

Stigningstallet \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) — hvor mye \(y\) endrer seg per steg i \(x\). Regel — stigningstall

Gjennom to punkter \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\): \[a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Eksempel 4 — finn stigningstallet

Linja går gjennom \((1,2)\) og \((4,8)\).

\(a=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2\). Sett inn i \(y=2x+b\) med \((1,2)\): \(2=2+b\Rightarrow b=0\). Altså \(y=2x\). Merk

Positivt \(a\) → linja stiger; negativt \(a\) → linja synker; \(a=0\) → vannrett linje.

✍ Prøv selv

Finn likningen for linja gjennom \((0,3)\) og \((2,7)\).

Vis løsning

\(a=\dfrac{7-3}{2-0}=2\), \(b=3\Rightarrow y=2x+3\).

3.5 Nullpunkt, topp- og bunnpunkt, monotoni

Vi «drøfter» en funksjon ved å beskrive de viktige egenskapene til grafen.

Begreper

• Nullpunkt: der grafen skjærer \(x\)-aksen, altså \(f(x)=0\).
• Toppunkt / bunnpunkt: høyeste / laveste punkt på grafen.
• Monotoni: funksjonen er voksende der grafen stiger, og avtakende der den synker.

Eksempel 5 — nullpunkt

Finn nullpunktene til \(f(x)=x^2-4\).

\(x^2-4=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). Nullpunkter i \(x=-2\) og \(x=2\). ✍ Prøv selv

Finn nullpunktene til \(f(x)=x^2-x-6\).

Vis løsning

\((x-3)(x+2)=0\Rightarrow x=3\) og \(x=-2\).

3.6 Andregradsfunksjoner

En andregradsfunksjon \(f(x)=ax^2+bx+c\) gir en parabel. Fortegnet til \(a\) bestemmer formen: \(a>0\) gir en parabel som «smiler» (bunnpunkt), \(a<0\) en som «er sur» (toppunkt).

Parabelen er symmetrisk om en loddrett linje gjennom bunn-/toppunktet. Regel — symmetrilinje og bunn-/toppunkt

Symmetrilinja ligger i \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Sett denne \(x\)-verdien inn i \(f\) for å finne \(y\)-verdien til bunn-/toppunktet.

Eksempel 6 — finn bunnpunktet

\(f(x)=x^2-4x+1\).

\(a=1,\ b=-4\Rightarrow x=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=2\). \(f(2)=4-8+1=-3\). Bunnpunkt \((2,-3)\). ⚠ Vanlig feil

Symmetrilinja er \(x=-\dfrac{b}{2a}\) — husk minustegnet og \(2a\) i nevneren. Med \(b=-4\) blir det \(x=+2\), ikke \(-2\).

✍ Prøv selv

Finn bunnpunktet til \(f(x)=x^2-6x+5\), og nullpunktene.

Vis løsning

\(x=3,\ f(3)=-4\Rightarrow (3,-4)\). Nullpunkter: \((x-1)(x-5)=0\Rightarrow x=1,5\).

3.7 Lese og tolke grafer

I praktiske oppgaver forteller grafen en historie: hvordan en størrelse endrer seg over tid. Da tolker vi punktene i sammenheng med situasjonen.

Eksempel 7

En bil kjører slik at avstanden er \(s(t)=60t\) (km, med \(t\) i timer). Hva betyr stigningstallet 60?

For hver time øker avstanden med 60 km — altså er farten 60 km/t. Etter \(t=2{,}5\) timer: \(s=60\cdot2{,}5=150\) km. ✍ Prøv selv

En mobilplan koster \(K(x)=99+0{,}5x\) kroner ved \(x\) minutter. Hva er fastprisen, og hva koster 200 minutter?

Vis løsning

Fastpris \(99\) kr (konstantledd). \(K(200)=99+100=199\) kr.

📌 Sammendrag

• En funksjon gir ett svar \(f(x)\) for hver \(x\); \(y=f(x)\).
• Definisjonsmengde: tillatte \(x\) (ikke dele på 0, ikke rot av negativt tall).
• Grafen er punktene \((x,f(x))\); nullpunkt der \(f(x)=0\).
• Lineær: \(f(x)=ax+b\), stigningstall \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), skjærer \(y\)-aksen i \(b\).
• Andregrad: parabel med symmetrilinje \(x=-\dfrac{b}{2a}\) og bunn-/toppunkt der.

🧪 Test deg selv

1. \(f(x)=2x-7\); finn \(f(5)\). Svar \(3\).
2. \(D_f\) for \(\dfrac{4}{x-3}\)? Svar alle \(x\neq3\).
3. Stigningstall gjennom \((1,1)\) og \((3,7)\)? Svar \(a=3\).
4. Nullpunkt til \(x^2-9\)? Svar \(x=\pm3\).
5. Symmetrilinje til \(x^2-8x+2\)? Svar \(x=4\).
6. \(f(x)=x^2-2x-3\); bunnpunkt? Svar \(x=1,\ f(1)=-4\Rightarrow(1,-4)\).