Matematikk 1T eksamen vår 2026 – oppgaver og løsningsforslag

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 2 poeng

Oppgave: Løs ulikheten x2+7x+6≤0x^2+7x+6\le 0x2+7x+6≤0.

Steg 1 – Faktoriser. Vi søker to tall med produkt 666 og sum 777: tallene 111 og 666. Dermed er x2+7x+6=(x+1)(x+6)x^2+7x+6=(x+1)(x+6)x2+7x+6=(x+1)(x+6).

Steg 2 – Finn nullpunktene. (x+1)(x+6)=0(x+1)(x+6)=0(x+1)(x+6)=0 gir x=−1x=-1x=−1 og x=−6x=-6x=−6.

Steg 3 – Fortegn. Parabelen vender opp (positivt x2x^2x2-ledd), så uttrykket er negativt mellom nullpunktene. Se fortegnslinja under.

Svar: −6≤x≤−1-6\le x\le -1−6≤x≤−1, altså x∈[−6, −1]x\in[-6,\,-1]x∈[−6,−1].

Oppgave 2 4 poeng

Oppgave: Gitt likningssystemet −x2+4=y-x^2+4=y−x2+4=y og x−y=2x-y=2x−y=2. a) Løs ved regning. b) Løs grafisk.

a) Steg 1 – Sett inn. Fra første likning er y=−x2+4y=-x^2+4y=−x2+4. Satt inn i x−y=2x-y=2x−y=2:

x−(−x2+4)=2 ⇒ x2+x−6=0.x-(-x^2+4)=2 \;\Rightarrow\; x^2+x-6=0.x−(−x2+4)=2⇒x2+x−6=0.

a) Steg 2 – Løs andregradslikningen. x2+x−6=(x+3)(x−2)=0x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0x2+x−6=(x+3)(x−2)=0, så x=−3x=-3x=−3 eller x=2x=2x=2.

a) Steg 3 – Finn y. Bruk y=x−2y=x-2y=x−2: x=−3⇒y=−5x=-3\Rightarrow y=-5x=−3⇒y=−5, og x=2⇒y=0x=2\Rightarrow y=0x=2⇒y=0.

Svar a): (−3,−5)(-3,-5)(−3,−5) og (2,0)(2,0)(2,0).

b) Grafisk. Tegn parabelen y=−x2+4y=-x^2+4y=−x2+4 (toppunkt (0,4)(0,4)(0,4), nullpunkter x=±2x=\pm 2x=±2) og linja y=x−2y=x-2y=x−2 (stigningstall 111, skjærer y-aksen i −2-2−2). Løsningen er skjæringspunktene.

Svar b): Grafene skjærer hverandre i (−3,−5)(-3,-5)(−3,−5) og (2,0)(2,0)(2,0) – samme svar som ved regning.

Oppgave 3 3 poeng

Oppgave: Løs likningen 2x3+3x2−18x+8=02x^3+3x^2-18x+8=02x3+3x2−18x+8=0.

Steg 1 – Gjett en rot. Prøv heltallsdelere av konstantleddet 888. x=2x=2x=2: 2⋅8+3⋅4−18⋅2+8=16+12−36+8=02\cdot 8+3\cdot 4-18\cdot 2+8=16+12-36+8=02⋅8+3⋅4−18⋅2+8=16+12−36+8=0. ✓ Altså er (x−2)(x-2)(x−2) en faktor.

Steg 2 – Polynomdivisjon. 2x3+3x2−18x+8=(x−2)(2x2+7x−4)2x^3+3x^2-18x+8=(x-2)(2x^2+7x-4)2x3+3x2−18x+8=(x−2)(2x2+7x−4).

Steg 3 – abc-formelen på resten.

x=−7±72−4⋅2⋅(−4)2⋅2=−7±814=−7±94.x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot 2\cdot(-4)}}{2\cdot 2}=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{4}=\frac{-7\pm 9}{4}.x=2⋅2−7±72−4⋅2⋅(−4) ​​=4−7±81 ​​=4−7±9​.

Det gir x=12x=\tfrac12x=21​ og x=−4x=-4x=−4.

Svar: x∈{−4, 12, 2}x\in\left\{-4,\ \tfrac12,\ 2\right\}x∈{−4, 21​, 2}.

Oppgave 4 2 poeng

Oppgave: Bestem aaa, bbb og ccc slik at a(x+b)2=x2+8x+ca(x+b)^2=x^2+8x+ca(x+b)2=x2+8x+c blir en identitet.

Steg 1 – Multipliser ut. a(x+b)2=ax2+2ab x+ab2a(x+b)^2=ax^2+2ab\,x+ab^2a(x+b)2=ax2+2abx+ab2.

Steg 2 – Sammenlign ledd for ledd med x2+8x+cx^2+8x+cx2+8x+c: a=1a=1a=1; 2ab=8⇒b=42ab=8\Rightarrow b=42ab=8⇒b=4; c=ab2=16c=ab^2=16c=ab2=16.

Steg 3 – Kontroll. (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2=x^2+8x+16(x+4)2=x2+8x+16. ✓ (Dette er første kvadratsetning.)

Svar: a=1, b=4, c=16a=1,\ b=4,\ c=16a=1, b=4, c=16.

Oppgave 5 2 poeng

Oppgave: Tallfølgen 1, 3, 7, 13, 21, …1,\ 3,\ 7,\ 13,\ 21,\ \dots1, 3, 7, 13, 21, … følger mønsteret 0⋅1+1, 1⋅2+1, 2⋅3+1, 3⋅4+1,…0\cdot1+1,\ 1\cdot2+1,\ 2\cdot3+1,\ 3\cdot4+1,\dots0⋅1+1, 1⋅2+1, 2⋅3+1, 3⋅4+1,… a) Finn tall nr. 8. b) Sett opp en formel for tall nr. nnn.

a) Mønsteret for ledd kkk er (k−1)⋅k+1(k-1)\cdot k+1(k−1)⋅k+1. For k=8k=8k=8: 7⋅8+1=577\cdot 8+1=577⋅8+1=57.

Svar a): Tall nr. 8 er 575757.

b) Ledd nr. nnn er (n−1)⋅n+1=n2−n+1(n-1)\cdot n+1=n^2-n+1(n−1)⋅n+1=n2−n+1.

Kontroll: n=8n=8n=8 gir 64−8+1=5764-8+1=5764−8+1=57. ✓

Svar b): an=n2−n+1a_n=n^2-n+1an​=n2−n+1.

Oppgave 6 1 poeng

Oppgave: Om en trekant ABCABCABC vet du at vinkel B=90∘B=90^\circB=90∘ og tan⁡A=1\tan A=1tanA=1. Lag en figur og forklar hvordan trekanten kan se ut.

Forklaring. tan⁡A=motsta˚ende katethosliggende katet=BCAB=1\tan A=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}=\dfrac{BC}{AB}=1tanA=hosliggende katetmotsta˚ende katet​=ABBC​=1 betyr at BC=ABBC=ABBC=AB. Trekanten er altså rettvinklet og likebeint: de to katetene er like lange, og ∠A=∠C=45∘\angle A=\angle C=45^\circ∠A=∠C=45∘.

Svar: F.eks. AB=BC=1AB=BC=1AB=BC=1 og hypotenus AC=2AC=\sqrt{2}AC=2 ​ (en 45–45–90-trekant).

Oppgave 7 figuroppgave

Oppgave: Figuren viser en trekant satt sammen av 30–60–90-trekanter. I den lille rettvinklede trekanten er hypotenusen 444 og korteste katet (motstående 30∘30^\circ30∘) er 222. a) Vis at sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\tfrac12sin30∘=21​ og cos⁡30∘=32\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}cos30∘=23 ​​. b) Bestem arealet av den store trekanten (sider 10310\sqrt3103 ​ og 444, mellomliggende vinkel 30∘30^\circ30∘). c) Bestem omkretsen.

a) Steg 1 – Finn siste katet (Pytagoras). k=42−22=12=23k=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3k=42−22 ​=12 ​=23 ​.

a) Steg 2 – Bruk definisjonene.

sin⁡30∘=motsta˚endehypotenus=24=12,cos⁡30∘=hosliggendehypotenus=234=32.\sin 30^\circ=\frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}=\frac{2}{4}=\frac12,\qquad \cos 30^\circ=\frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}.sin30∘=hypotenusmotsta˚ende​=42​=21​,cos30∘=hypotenushosliggende​=423 ​​=23 ​​.

b) Areal (arealsetningen). A=12⋅103⋅4⋅sin⁡30∘=12⋅103⋅4⋅12=103≈17,3A=\tfrac12\cdot 10\sqrt3\cdot 4\cdot \sin 30^\circ=\tfrac12\cdot 10\sqrt3\cdot 4\cdot \tfrac12=10\sqrt3\approx 17{,}3A=21​⋅103 ​⋅4⋅sin30∘=21​⋅103 ​⋅4⋅21​=103 ​≈17,3.

c) Tredje side (cosinussetningen), motstående vinkel 30∘30^\circ30∘:

x2=(103)2+42−2⋅103⋅4⋅cos⁡30∘=300+16−120=196 ⇒ x=14.x^2=(10\sqrt3)^2+4^2-2\cdot 10\sqrt3\cdot 4\cdot\cos 30^\circ=300+16-120=196\;\Rightarrow\;x=14.x2=(103 ​)2+42−2⋅103 ​⋅4⋅cos30∘=300+16−120=196⇒x=14.

Svar: a) vist. b) Areal =103≈17,3=10\sqrt3\approx 17{,}3=103 ​≈17,3. c) Omkrets =103+4+14=103+18≈35,3=10\sqrt3+4+14=10\sqrt3+18\approx 35{,}3=103 ​+4+14=103 ​+18≈35,3.

Merk: figurmålene (444, 222, 10310\sqrt3103 ​, 30∘30^\circ30∘) er lest fra det offisielle settet. Se Udirs oppgave for den eksakte figuren.

Oppgave 8 figuroppgave

Oppgave: a) Lag en rasjonal funksjon fff uten nullpunkt og med to vertikale asymptoter. b) Lag en rasjonal funksjon ggg med horisontal asymptote y=2y=2y=2 som ikke skjærer y-aksen. Argumenter for svarene.

a) «Ingen nullpunkt» betyr at telleren aldri blir null; «to vertikale asymptoter» betyr at nevneren har to nullpunkter. Velg teller x2+1x^2+1x2+1 (alltid >0>0>0) og nevner x2−4x^2-4x2−4 (null i x=±2x=\pm 2x=±2):

f(x)=x2+1x2−4.f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}.f(x)=x2−4x2+1​.

Argument: x2+1>0x^2+1>0x2+1>0 for alle xxx (ingen nullpunkt), og x2−4=0x^2-4=0x2−4=0 gir vertikale asymptoter i x=−2x=-2x=−2 og x=2x=2x=2. (Mange svar er mulige.)

b) Horisontal asymptote y=2y=2y=2 krever at g(x)→2g(x)\to 2g(x)→2 når x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞; «skjærer ikke y-aksen» krever en vertikal asymptote i x=0x=0x=0. Velg:

g(x)=2x+1x=2+1x.g(x)=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}.g(x)=x2x+1​=2+x1​.

Argument: når x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ går 1x→0\tfrac1x\to 0x1​→0, så g(x)→2g(x)\to 2g(x)→2. Og ggg er udefinert i x=0x=0x=0, så grafen skjærer aldri y-aksen. (Mange svar er mulige.)

Svar: f.eks. f(x)=x2+1x2−4f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-4}f(x)=x2−4x2+1​ og g(x)=2x+1xg(x)=\dfrac{2x+1}{x}g(x)=x2x+1​.

Oppgave 9 figuroppgave

Oppgave: Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon fff. Bunnpunktet ligger der x=−1x=-1x=−1, og en tangent i punktet der x=4x=4x=4 har stigningstall 555. a) Forklar at f′(4)=5f'(4)=5f′(4)=5. b) Bestem et mulig uttrykk for f′(x)f'(x)f′(x).

a) f′(4)f'(4)f′(4) er den momentane vekstfarten i x=4x=4x=4, som er lik stigningstallet til tangenten i det punktet. Tangenten har stigningstall 555, altså er f′(4)=5f'(4)=5f′(4)=5.

b) Steg 1 – Hva slags funksjon er f′f'f′? fff er en andregradsfunksjon, så f′f'f′ er lineær (en rett linje).

b) Steg 2 – To kjente punkter på f′f'f′. I bunnpunktet er stigningen 000, så f′(−1)=0f'(-1)=0f′(−1)=0. Og f′(4)=5f'(4)=5f′(4)=5. Dette gir punktene (−1,0)(-1,0)(−1,0) og (4,5)(4,5)(4,5).

b) Steg 3 – Finn linja. Stigningstall =5−04−(−1)=1=\dfrac{5-0}{4-(-1)}=1=4−(−1)5−0​=1. Ettpunktsformelen: f′(x)−0=1⋅(x−(−1))f'(x)-0=1\cdot(x-(-1))f′(x)−0=1⋅(x−(−1)).

Svar: f′(x)=x+1f'(x)=x+1f′(x)=x+1. (Kontroll: f′(−1)=0f'(-1)=0f′(−1)=0 og f′(4)=5f'(4)=5f′(4)=5. ✓)

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 5 poeng

Oppgave: En bil slipper ut U(x)=5400x+0,0074x2+50U(x)=\dfrac{5400}{x}+0{,}0074x^2+50U(x)=x5400​+0,0074x2+50 gram CO₂ per kilometer ved farten xxx km/h, der 30<x<11030<x<11030<x<110. a) Finn utslippet ved 505050 km/h. b) Hvilken fart gir minst utslipp, og hvor mye? c) Bilen kjører 909090 km/h i 202020 minutter – hvor mye CO₂ slippes ut?

a) U(50)=540050+0,0074⋅502+50=108+18,5+50=176,5U(50)=\dfrac{5400}{50}+0{,}0074\cdot 50^2+50=108+18{,}5+50=176{,}5U(50)=505400​+0,0074⋅502+50=108+18,5+50=176,5 g/km.

Svar a): 176,5176{,}5176,5 gram per kilometer.

b) Steg 1 – Deriver og sett lik null. U′(x)=−5400x2+0,0148x=0U'(x)=-\dfrac{5400}{x^2}+0{,}0148x=0U′(x)=−x25400​+0,0148x=0.

b) Steg 2 – Løs for xxx. 0,0148x3=5400⇒x3=54000,0148≈364 865⇒x≈71,50{,}0148x^3=5400\Rightarrow x^3=\dfrac{5400}{0{,}0148}\approx 364\,865\Rightarrow x\approx 71{,}50,0148x3=5400⇒x3=0,01485400​≈364865⇒x≈71,5 km/h. (Andrederivert er positiv, så dette er et minimum.)

b) Steg 3 – Regn ut utslippet. U(71,5)≈163,4U(71{,}5)\approx 163{,}4U(71,5)≈163,4 g/km.

Svar b): Lavest utslipp ved ca. 71,571{,}571,5 km/h, ca. 163,4163{,}4163,4 gram per kilometer.

c) Steg 1 – Strekning. 909090 km/h i 202020 min =2060=\tfrac{20}{60}=6020​ time gir 90⋅13=3090\cdot\tfrac13=3090⋅31​=30 km.

c) Steg 2 – Utslipp per km ved 90 km/h. U(90)=60+0,0074⋅8100+50=60+59,94+50=169,94U(90)=60+0{,}0074\cdot 8100+50=60+59{,}94+50=169{,}94U(90)=60+0,0074⋅8100+50=60+59,94+50=169,94 g/km.

c) Steg 3 – Totalt. 169,94⋅30≈5098169{,}94\cdot 30\approx 5098169,94⋅30≈5098 gram ≈5,1\approx 5{,}1≈5,1 kg.

Svar c): Ca. 510051005100 gram =5,1=5{,}1=5,1 kg CO₂.

Oppgave 3 regresjon

Oppgave: Vipebestanden i Norge var anslått til 5000 par i 2019 og 2500 par i 2022. Tor antar at nedgangen er lineær og fortsetter lineært; Egil antar at den er eksponentiell. La xxx være antall år etter 2019. a) Lag Tors lineære modell. b) Lag Egils eksponentielle modell. Forklar hva hver modell forteller.

a) Tor – lineær modell. To kjente punkter: (0, 5000)(0,\,5000)(0,5000) og (3, 2500)(3,\,2500)(3,2500). Stigningstall =2500−50003=−25003≈−833=\dfrac{2500-5000}{3}=-\dfrac{2500}{3}\approx -833=32500−5000​=−32500​≈−833. Modell:

f(x)=5000−25003 x.f(x)=5000-\frac{2500}{3}\,x.f(x)=5000−32500​x.

Modellen forteller at bestanden synker med ca. 833 par per år, og at den – lineært framskrevet – når null ved x=6x=6x=6, altså rundt 2025.

b) Egil – eksponentiell modell. g(x)=5000⋅kxg(x)=5000\cdot k^{x}g(x)=5000⋅kx. Fra g(3)=2500g(3)=2500g(3)=2500: k3=12⇒k=0,53≈0,794k^{3}=\tfrac12\Rightarrow k=\sqrt[3]{0{,}5}\approx 0{,}794k3=21​⇒k=30,5 ​≈0,794. Modell:

g(x)=5000⋅0,794 x.g(x)=5000\cdot 0{,}794^{\,x}.g(x)=5000⋅0,794x.

Modellen forteller at bestanden synker med ca. 20,6 % per år og nærmer seg null uten å nå det (eksponentiell nedgang).

Svar: Lineær f(x)=5000−25003xf(x)=5000-\tfrac{2500}{3}xf(x)=5000−32500​x (−833 par/år); eksponentiell g(x)=5000⋅0,794xg(x)=5000\cdot 0{,}794^{x}g(x)=5000⋅0,794x (−20,6 % per år).

Del c) (Egils justerte modell som stabiliserer seg på et nivå) krever den eksakte figuren fra settet, og fullføres sammen med oppgave 2.

Oppgave 4 programmering

Oppgave: Kristian limer kuler på pinner. De fire første figurene bruker henholdsvis 1,3,5,71,3,5,71,3,5,7 pinner og 0,2,6,120,2,6,120,2,6,12 kuler. Lag et program som regner ut hvor mange pinner og kuler han trenger for å lage de 50 første figurene til sammen.

Steg 1 – Finn mønsteret. Antall pinner er oddetallene: figur nnn har Pn=2n−1P_n=2n-1Pn​=2n−1 pinner. Antall kuler er Kn=n(n−1)=n2−nK_n=n(n-1)=n^2-nKn​=n(n−1)=n2−n (sjekk: n=4n=4n=4 gir 121212).

Steg 2 – Program (Python).

pinner = 0 kuler = 0 for n in range(1, 51): pinner += 2*n - 1 kuler += n*(n - 1) print("Pinner:", pinner) # 2500 print("Kuler:", kuler) # 41650

Steg 3 – Kontroll (lukket form). ∑n=150(2n−1)=502=2500\sum_{n=1}^{50}(2n-1)=50^2=2500∑n=150​(2n−1)=502=2500 og ∑n=150n(n−1)=41650\sum_{n=1}^{50} n(n-1)=41650∑n=150​n(n−1)=41650.

Svar: Kristian trenger 250025002500 pinner og 41 65041\,65041650 kuler.

Kommer i neste omgang

Del 2, oppgave 2 (trigonometri med CAS) og del c) av oppgave 3 (Egils stabiliserende modell) gjenstår – de er figur-/verktøytunge og fullføres mot den offisielle figuren. Underveis fant vi at en populær løsningsside har feil tallgrunnlag på vipe-oppgaven, så ifingo etterregner hvert svar.