Matematikk 1T eksamen vår 2024 – oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk 1T

Oppgavetekstene er gjengitt og strukturert pedagogisk for Ifingo-publisering. Kontroller mot original PDF ved endelig publisering.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Tangens i rettvinklet trekant (2 poeng)

📝 OppgaveTom arbeider med en rettvinklet trekant med kateter 6 og 8, og påstår at tan⁡(u)⋅tan⁡(v)=1\tan (u)\cdot \tan (v)=1tan(u)⋅tan(v)=1 for de to spisse vinklene. Vis påstanden og avgjør om den gjelder generelt. ✅ Modellbesvarelse

1. a) I trekanten er tan⁡(u)=68\tan (u)=\tfrac{6}{8}tan(u)=86​ og tan⁡(v)=86\tan (v)=\tfrac{8}{6}tan(v)=68​. Produktet blir 68⋅86=1\tfrac{6}{8}\cdot \tfrac{8}{6}=186​⋅68​=1. Tom har derfor rett for denne trekanten.
2. b) I en vilkårlig rettvinklet trekant med kateter A og B er tan⁡(u)=B/A\tan (u)=B/Atan(u)=B/A og tan⁡(v)=A/B\tan (v)=A/Btan(v)=A/B. Produktet blir (B/A)⋅(A/B)=1(B/A)\cdot (A/B)=1(B/A)⋅(A/B)=1. Påstanden gjelder for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker definisjonen av tangens og generaliserer med bokstaver, ikke bare tall.

Oppgave 2

2

Polynomdivisjon og faktorisering (3 poeng)

📝 OppgaveForklar hvilke polynomdivisjoner som kan vise at 2x3+3x2−11x−6=(2x2+7x+3)(x−2)2x^{3}+3x^{2}-11x-6=(2x^{2}+7x+3)(x-2)2x3+3x2−11x−6=(2x2+7x+3)(x−2), og utfør kontrollen. ✅ Modellbesvarelse

1. La P(x)=2x3+3x2−11x−6P(x)=2x^{3}+3x^{2}-11x-6P(x)=2x3+3x2−11x−6. Først tester vi x=2x=2x=2: P(2)=16+12−22−6=0P(2)=16+12-22-6=0P(2)=16+12−22−6=0, så P kan deles på (x-2). Divisjon gir kvotienten 2x2+7x+32x^{2}+7x+32x2+7x+3. Deretter kan man kontrollere motsatt vei: (2x3+3x2−11x−6)(2x^{3}+3x^{2}-11x-6)(2x3+3x2−11x−6):(2x2+7x+3)=x−2(2x^{2}+7x+3)=x-2(2x2+7x+3)=x−2. Siden divisjonene går opp uten rest, er faktoriseringen riktig. Videre kan 2x2+7x+32x^{2}+7x+32x2+7x+3 faktoriseres som (2x+1)(x+3)(2x+1)(x+3)(2x+1)(x+3).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser restteorem, polynomdivisjon og kontroll av faktorisering.

Oppgave 3

3

Arealidentitet (2 poeng)

📝 OppgaveSett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i et grønt areal som kan beskrives både som differanse av to kvadrater og som sammensatt rektangel. ✅ Modellbesvarelse

1. Arealet kan ses som et stort kvadrat minus et lite kvadrat: a2−b2a^{2}-b^{2}a2−b2. Det samme grønne området kan settes sammen som et rektangel med sidelengder (a-b) og (a+b). Dermed får vi identiteten a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen knytter algebra direkte til areal og forklarer hvorfor identiteten alltid gjelder.

Oppgave 4

4

Programmering og gjennomsnittlig vekstfart (2 poeng)

📝 OppgaveEt program regner på funksjonen f(x)=x2−3x+7f(x)=x^{2}-3x+7f(x)=x2−3x+7. Finn verdien som skrives ut når programmet beregner gjennomsnittlig vekstfart fra x=0x=0x=0 til x=5x=5x=5, og forklar hva verdien betyr. ✅ Modellbesvarelse

1. Vi regner f(0)=7f(0)=7f(0)=7 og f(5)=25−15+7=17f(5)=25-15+7=17f(5)=25−15+7=17. Gjennomsnittlig vekstfart blir (f(5)−f(0))/(5−0)=(17−7)/5=2(f(5)-f(0))/(5-0)=(17-7)/5=2(f(5)−f(0))/(5−0)=(17−7)/5=2. Verdien 2 betyr at funksjonsverdien i gjennomsnitt øker med 2 per x-enhet fra 0 til 5.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret oversetter programuttrykket til matematisk vekstfart og tolker resultatet.

Oppgave 5

5

Andregradsfunksjon fra graf (4 poeng)

📝 OppgaveGrafen til f har nullpunktene -3 og 4 og skjærer y-aksen i 24. Bestem f(x)f(x)f(x), og løs ulikheten f(x)>12f(x)>12f(x)>12. ✅ Modellbesvarelse

1. a) Nullpunktene gir faktorene (x+3) og (x-4), altså f(x)=a(x+3)(x−4)f(x)=a(x+3)(x-4)f(x)=a(x+3)(x−4). Siden f(0)=24f(0)=24f(0)=24, får vi 24=a⋅3⋅(−4)=−12a24=a\cdot 3\cdot (-4)=-12a24=a⋅3⋅(−4)=−12a, derfor a=−2a=-2a=−2. Dermed f(x)=−2(x+3)(x−4)=−2x2+2x+24f(x)=-2(x+3)(x-4)=-2x^{2}+2x+24f(x)=−2(x+3)(x−4)=−2x2+2x+24.
2. b) Løs f(x)>12f(x)>12f(x)>12: -2(x+3)(x-4)>12. Del på -2 og snu ulikhetstegnet: (x+3)(x-4)<-6. Det gir x2−x−12<−6x^{2}-x-12<-6x2−x−12<−6, altså x2−x−6<0x^{2}-x-6<0x2−x−6<0. Faktoriser: (x+2)(x-3)<0. Produktet er negativt mellom røttene, så -2<x<3.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bruker grafdata, faktorisert form, algebraisk ulikhetsløsning og korrekt intervallsvar.

Oppgave 1

1

Modell for kantineoverskudd (8 poeng)

📝 OppgaveTabellen viser solgte bagetter og overskudd. Modellen O(x)=−0,09x2+51,04x−2776,98O(x)=-0,09x^{2}+51,04x-2776,98O(x)=−0,09x2+51,04x−2776,98 brukes for overskudd ved x solgte bagetter. Vurder modellen, finn maksimalt overskudd, gjennomsnittlig vekstfart fra 100 til 200, og momentan vekstfart ved 235. ✅ Modellbesvarelse

1. a) Tabellen viser en tydelig økning som etter hvert flater ut. En andregradsmodell med negativt andregradsledd passer derfor godt, fordi den har toppunkt.
2. b) Toppunktet ligger ved x=−b/(2a)=−51,04/(2⋅(−0,09))x=-b/(2a)=-51,04/(2\cdot (-0,09))x=−b/(2a)=−51,04/(2⋅(−0,09))≈283,6. Kantinen bør selge ca. 284 bagetter. Overskuddet blir O(283,6)O(283,6)O(283,6)≈4460 kroner.
3. c) O(100)O(100)O(100)≈1450 og O(200)O(200)O(200)≈3846. Gjennomsnittlig vekstfart er (3846−1450)/100(3846-1450)/100(3846−1450)/100≈23,96 kr per bagett.
4. d) O′(x)=−0,18x+51,04O'(x)=-0,18x+51,04O′(x)=−0,18x+51,04. O′(235)=−42,3+51,04=8,74O'(235)=-42,3+51,04=8,74O′(235)=−42,3+51,04=8,74. Overskuddet øker da med omtrent 9 kroner per ekstra bagett rundt 235 solgte bagetter.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser regresjonsforståelse, toppunkt, gjennomsnittlig og momentan vekstfart med praktisk tolkning.

Oppgave 2

2

Lysbrytning og sinusmodell (3 poeng)

📝 OppgaveNår lys går fra luft til vann, modelleres vinklene med sin⁡(u)=1,33⋅sin⁡(v)\sin (u)=1,33\cdot \sin (v)sin(u)=1,33⋅sin(v). Finn u når v=39v=39v=39 grader, drøft hva som skjer når u nærmer seg 90 grader, og vurder om u og v kan være like. ✅ Modellbesvarelse

1. a) sin⁡(u)=1,33⋅sin⁡(39°)\sin (u)=1,33\cdot \sin (39°)sin(u)=1,33⋅sin(39°)≈1,33*0,6293≈0,837. Dermed u≈arcsin⁡(0,837)\arcsin (0,837)arcsin(0,837)≈56,8°.
2. b) Når u nærmer seg 90°, nærmer sin⁡(u)\sin (u)sin(u) seg 1. Da blir sin⁡(v)=11,33\sin (v)=\tfrac{1}{1},33sin(v)=11​,33≈0,752, og v nærmer seg arcsin⁡(0,752)\arcsin (0,752)arcsin(0,752)≈48,8°.
3. c) Dersom u=vu=vu=v, ville sin⁡(u)=1,33sin⁡(u)\sin (u)=1,33\sin (u)sin(u)=1,33sin(u). Dette kan bare skje når sin⁡(u)=0\sin (u)=0sin(u)=0. For positive vinkler er det derfor ikke mulig at vinklene er like.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret kombinerer formelbruk med fortolkning av grenseverdi og likningsargument.

Oppgave 3

3

Trekant med arealsetningen og cosinussetningen (4 poeng)

📝 OppgaveI trekant ABC er AB=8, vinkel A=120A=120A=120 grader og arealet 434\sqrt{3}43 ​. Bestem AC og BC eksakt. ✅ Modellbesvarelse

1. Arealsetningen gir A=12A=\tfrac{1}{2}A=21​*AB*AC*sin⁡(120°)\sin (120°)sin(120°). Sett inn: 43=12⋅84\sqrt{3}=\tfrac{1}{2}\cdot 843 ​=21​⋅8*AC*(3/2)=23(\sqrt{3}/2)=2\sqrt{3}(3 ​/2)=23 ​*AC. Dermed AC=2. Bruk cosinussetningen for BC: BC^2=82+22−2⋅8⋅2⋅cos⁡(120°)2=8^{2}+2^{2}-2\cdot 8\cdot 2\cdot \cos (120°)2=82+22−2⋅8⋅2⋅cos(120°). Siden cos⁡(120°)=−12\cos (120°)=-\tfrac{1}{2}cos(120°)=−21​, får vi BC^2=64+4+16=842=64+4+16=842=64+4+16=84. Derfor BC=84=221\sqrt{84}=2\sqrt{21}84 ​=221 ​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser riktig valg av setninger og gir eksakte svar.

Oppgave 4

4

Sum av oddetall (4 poeng)

📝 OppgaveLag et program som summerer oddetallene 1, 3, 5, ... og beskriv sammenhengen du oppdager. ✅ Modellbesvarelse

1. Et program kan bruke en løkke: sum=0; for n in range(1,21): sum=sum+(2*n-1); print(n,sum). De første summene blir 1, 4, 9, 16, 25, 36. Dette viser mønsteret Sn=n2S_n=n^{2}Sn​=n2. Begrunnelse: hvert nytt oddetall legger en ny L-formet kant rundt et kvadrat, slik at kvadratet vokser fra (n−1)2(n-1)^{2}(n−1)2 til n2n^{2}n2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser både programmering, tallmønster og geometrisk argument.

Oppgave 5

5

Kokepunkt, lufttrykk og høyde (8 poeng)

📝 OppgaveBruk tabellen for lufttrykk og kokepunkt til å lage en modell K(x)=a⋅xbK(x)=a\cdot x^{b}K(x)=a⋅xb. Lag deretter modeller for lufttrykk med 12 prosent reduksjon per km og halvering hver 5,5 km. Bruk modellene til å vurdere hvor høyt man kan hardkoke egg. ✅ Modellbesvarelse

1. a) Potensregresjon på tabellverdiene gir en modell omtrent K(x)=11,9⋅x0,31K(x)=11,9\cdot x^{0},31K(x)=11,9⋅x0,31, der x er lufttrykk i hPa og K er kokepunkt i grader Celsius.
2. b) Aris modell: A(h)=1000⋅0,88hA(h)=1000\cdot 0,88^{h}A(h)=1000⋅0,88h. Lisas modell: L(h)=1000⋅12h/5,5L(h)=1000\cdot \tfrac{1}{2}^{h/5,5}L(h)=1000⋅21​h/5,5. Begge starter ved 1000 hPa ved havnivå.
3. c) Egg blir ikke hardkokt når kokepunktet er under 85 °C. Modellen gir at 85 °C svarer til omtrent 600 hPa. Begge trykkmodellene passerer 600 hPa ved omtrent 4 km høyde. Derfor bør man være under ca. 4000 meter for å hardkoke egg på vanlig måte.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser modellering, regresjonstolkning og praktisk vurdering av gyldighet.

Oppgave 6

6

Tangent fra derivert graf (2 poeng)

📝 OppgaveDen deriverte grafen viser at f′(1)=−2f'(1)=-2f′(1)=−2. Punktet P(1,2)P(1,2)P(1,2) ligger på grafen til f. Bestem tangenten i P. ✅ Modellbesvarelse

1. Tangenten har stigningstall -2 og går gjennom (1,2). Bruk punkt-stigning-form: y−2=−2(x−1)y-2=-2(x-1)y−2=−2(x−1). Da får vi y−2=−2x+2y-2=-2x+2y−2=−2x+2, altså y=−2x+4y=-2x+4y=−2x+4.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker korrekt kobling mellom derivert verdi og tangentens stigningstall.

Oppgave 7

7

Tre funksjoner som danner lukket kurve (6 poeng)

📝 OppgaveLag tre ulike funksjoner som sammen danner en lukket kurve, der to grafer har bunnpunkt på y-aksen og punktene A og B har samme y-koordinat. ✅ Modellbesvarelse

1. Ett mulig valg er f(x)=0,2x2f(x)=0,2x^{2}f(x)=0,2x2 for -4≤x≤0,g(x)=0,2x24\le x\le 0, g(x)=0,2x^{2}4≤x≤0,g(x)=0,2x2 for 0≤x≤40\le x\le 40≤x≤4 og h(x)=3h(x)=3h(x)=3 for -4≤x≤44\le x\le 44≤x≤4, kombinert med justerte endepunkter slik at grafene møtes i A og B. For å få en mer variert figur kan den ene parabellignende grafen byttes med en tredjegradsfunksjon som har bunnpunkt på y-aksen, for eksempel p(x)=0,05x3+0,3x2p(x)=0,05x^{3}+0,3x^{2}p(x)=0,05x3+0,3x2 på et avgrenset intervall, sammen med en rett linje som lukker figuren. Gyldighetsområdene må oppgis for hver graf. Kravet oppfylles når to bunnpunkt ligger på y-aksen og endepunktene A og B er valgt med samme y-verdi.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser utforsking, funksjonsvalg, gyldighetsområde og argumentasjon for grafiske krav.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk 1T

Relaterte sider

Matematikk 1TEksamensoppgaverMatematikk