Spesiell relativitetsteori – Fysikk 2

🎯 Læringsmål – Kapittel 10

Etter å ha arbeidet med dette kapitlet skal du kunne:

• Forklare Einsteins to relativitetsprinsipper
• Beregne tidsdilatasjon med formelen t = γt₀
• Beregne lengdekontraksjonen med l = l₀/γ
• Bruke relativistisk addisjon av hastigheter
• Beregne relativistisk bevegelsesmengde og kinetisk energi
• Bruke masse-energi-ekvivalensen E = mc²
• Forklare tvillingparadokset og lyshastighetens rolle

1. Einsteins postulater

Einsteins spesielle relativitetsteori (1905) bygger på to postulater:

• Relativitetsprinsippet: Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer
• Lyshastigheten er konstant: Lys i vakuum har farten c = 3,0 × 10⁸ m/s i alle inertialsystemer, uavhengig av kildens bevegelse

Disse postulater fører til dyptgripende konsekvenser: tid og rom er ikke absolutte størrelser, men avhenger av bevegelsestilstand.

2. Tidsdilatasjon

En klokke som beveger seg med fart v tikker saktere enn en klokke i ro. En observatør i ro måler lengre tid Δt for en prosess som tar Δt₀ (egentid) i det bevegelige systemet:

Δt = γ · Δt₀

γ = 1/√(1 − v²/c²) (Lorentz-faktoren)

γ ≥ 1 alltid; γ → ∞ når v → c

Eksempel: Et myon dannes i øvre atmosfære, omtrent 15 km over bakken, og har middellevetid τ₀ = 2,2 μs i sin egen referanseramme. Uten tidsdilatasjon ville det i snitt rekke 0,998 × 3,0 × 10⁸ m/s × 2,2 μs ≈ 0,66 km — det ville aldri komme ned.

Med v = 0,998c er γ = 1/√(1 − 0,998²) ≈ 15,8, og vi måler middellevetiden til Δt = 15,8 × 2,2 μs ≈ 35 μs. Gjennomsnittlig strekning blir da ≈ 10 km.

Legg merke til at 10 km fortsatt er mindre enn 15 km. At vi likevel måler mange myoner på bakken, skyldes at 2,2 μs er en middellevetid i en eksponentiell fordeling, ikke en øvre grense: en betydelig andel av myonene lever flere levetider. Tidsdilatasjonen er det som gjør denne andelen målbar i stedet for forsvinnende liten.

3. Lengdekontraksjonen

En gjenstand som beveger seg parallelt med bevegelsesretningen fremstår kortere for en observatør i ro:

l = l₀ / γ

l₀ = egenlengden (lengde i gjenstandens hvileramme); l ≤ l₀

Kontraksjonen skjer bare langs bevegelsesretningen. Tverrgående dimensjoner er uendret.

4. Relativistisk hastigheitsaddisjon

Klassisk: u′ = u − v. Relativistisk (for hastigheter langs samme akse):

u = (u′ + v) / (1 + u′v/c²)

Konsekvens: ingenting kan overstige c. Selv om u′ = 0,9c og v = 0,9c gir: u = 1,8c / 1,81 ≈ 0,994c < c.

5. Relativistisk mekanikk

Relativistisk bevegelsesmengde:

p = γmv

Relativistisk kinetisk energi:

K = (γ − 1)mc²

Total energi og masse-energi-ekvivalens:

E = γmc² = mc² + K

E₀ = mc² (hvilemasse-energi)

E² = (pc)² + (mc²)²

For fotoner: m = 0, så E = pc = hf.

6. Masse-energi-ekvivalensen E = mc²

Masse og energi er to sider av samme sak. Massen til en partikkel kan omgjøres til energi og omvendt. Dette er fundamentet for:

• Kjernekraft: Bindingsenergi i atomkjerner (massedefekt × c²)
• Nukleær fisjon/fusjon: Massetap → frigjort energi
• Par-produksjon: Et foton kan skape et elektron og et positron (E = 2m_ec²)

📌 Eksempel – massedefekt:

Helium-4-kjerne veier 4,0015 u, men 2p + 2n = 4,0320 u. Massedefekt Δm = 0,0305 u. Bindingsenergi = 0,0305 × 931,5 MeV/u = 28,4 MeV.

7. Tvillingparadokset

Den ene tvillingen reiser ut med v ≈ c og tilbake. Den reisende er yngre enn hjemmesitteren. Dette er ikke et paradoks – asymmetrien skyldes at den reisende akselererer (skifter inertialsystem) ved snupunktet.

📝 Eksempeloppgaver fra eksamen

Et myon lages i øvre atmosfære med v = 0,995c. Egentiden for nedfall er 2,2 μs. Finn observert levetid og om myonet rekker jordoverflaten (h = 15 km).

Løsning: γ = 1/√(1 − 0,995²) ≈ 10,0. …