Vektorer i planet er et grunnleggende tema i Matematikk R1 fordi det gir et presist språk for retning, lengde, bevegelse og geometri. En vektor kan beskrive en forflytning fra ett punkt til et annet, men den kan også brukes til å analysere linjer, vinkler, parallellitet, normalitet og posisjoner i koordinatsystemet. I LK20 henger dette sammen med utforsking, problemløsing, modellering og bruk av representasjoner.
I R1 bør du ikke tenke på vektorer som «piler med tall» alene. Du bør se dem som matematiske objekter som kan flyttes parallelt uten å endre verdi. En vektor har størrelse og retning, men ikke fast plassering. Dette gjør vektorer svært effektive i geometri: de lar deg regne på figurer i stedet for bare å tegne dem.
Du kan bruke denne artikkelen sammen med /ressursbank/artikler/matematikk-r1, /ressursbank/artikler/geometri-og-vektorer, /ressursbank/artikler/vektorer-i-planet og /ressursbank/artikler/slik-far-du-6-i-matematikk-r1.
Hva er en vektor?
En vektor er en størrelse med både lengde og retning. I planet skriver vi ofte en vektor som [x, y] eller som en kolonnevektor. Tallene forteller hvor langt vektoren går i x-retning og y-retning. Vektoren [3, 2] betyr for eksempel 3 enheter mot høyre og 2 enheter opp.
Hvis A=(x1, y1) og B=(x2, y2), er vektoren fra A til B gitt ved
AB = [x2-x1, y2-y1].
Dette er en av de viktigste formlene i vektorgeometri. Den forteller at en vektor mellom to punkter finnes ved å trekke startpunktets koordinater fra sluttpunktets koordinater.
Posisjonsvektor
En posisjonsvektor går fra origo til et punkt. Hvis punktet P har koordinatene (4, -1), kan posisjonsvektoren til P skrives som OP=[4, -1]. Posisjonsvektorer gjør det mulig å koble punkter og vektorer sammen. Mange oppgaver i R1 bruker denne koblingen når du skal finne ukjente punkter, midtpunkter eller linjer.
Det er viktig å skille mellom punktet P=(4, -1) og vektoren OP=[4, -1]. De har samme tall, men ulik betydning. Punktet beskriver en plassering. Vektoren beskriver en forflytning fra origo.
Lengden av en vektor
Lengden av vektoren v=[a, b] finner du med Pytagoras:
|v| = sqrt(a^2+b^2).
Dersom v=[3, 4], får vi |v|=sqrt(3^2+4^2)=5. Lengden kalles også normen til vektoren. I praktiske oppgaver kan lengden bety avstand, fart eller størrelse på en forflytning.
Når du arbeider med lengde, må du huske at svaret alltid er ikke-negativt. En vektor kan ha negative komponenter, men lengden er aldri negativ. Vektoren [-3, -4] har også lengde 5.