Vekstfart er et nøkkelbegrep i Matematikk R1 fordi det gir mening til den deriverte. Når du deriverer en funksjon, finner du ikke bare et nytt algebraisk uttrykk; du finner et uttrykk som beskriver hvordan funksjonen endrer seg. I praktiske modeller kan vekstfart handle om fart, temperaturendring, prisutvikling, befolkningsvekst, produksjon, inntekt eller andre størrelser som varierer.
I LK20 er det viktig å kunne koble representasjoner sammen. Vekstfart kan beskrives med tekst, tabell, graf, formel og derivasjon. En elev som forstår vekstfart, kan forklare forskjellen mellom gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart, tolke enheten, bruke fortegnet til den deriverte og knytte svaret til situasjonen i oppgaven.
Denne artikkelen passer for elever i Matematikk R1, privatister og alle som vil forstå hvordan derivasjon brukes i modellering. Den kan leses sammen med [/ressursbank/artikler/derivasjonsregler](/ressursbank/artikler/derivasjonsregler), [/ressursbank/artikler/tangent-og-normal](/ressursbank/artikler/tangent-og-normal), [/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting](/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting) og [/ressursbank/artikler/optimering](/ressursbank/artikler/optimering).
Hva betyr vekstfart?
Vekstfart beskriver hvor raskt en størrelse endrer seg. Hvis en bils posisjon endrer seg med tiden, er vekstfarten bilens fart. Hvis temperaturen endrer seg gjennom dagen, er vekstfarten hvor raskt temperaturen øker eller minker. Hvis en funksjon beskriver kostnad som avhenger av antall produserte varer, kan vekstfarten fortelle hvor mye kostnaden øker per ekstra vare.
I matematikk uttrykkes vekstfart ofte som endring i y-verdi delt på endring i x-verdi. Dette kan gjøres over et intervall eller i ett punkt. Over et intervall snakker vi om gjennomsnittlig vekstfart. I ett punkt snakker vi om momentan vekstfart, og den finner vi ved hjelp av den deriverte.
Gjennomsnittlig vekstfart
Gjennomsnittlig vekstfart mellom x = a og x = b er
(f(b) - f(a))/(b - a).
Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene (a, f(a)) og (b, f(b)). Den forteller hvor mye funksjonen i gjennomsnitt endrer seg per x-enhet i intervallet. Hvis funksjonen beskriver avstand i meter og x er tid i sekunder, får vekstfarten enheten meter per sekund.
Eksempel
Hvis f(t) beskriver temperaturen i grader etter t timer, og f(2) = 10 og f(6) = 18, er gjennomsnittlig vekstfart fra t = 2 til t = 6 lik (18 - 10)/(6 - 2) = 2. Temperaturen økte i gjennomsnitt med 2 grader per time i dette tidsrommet.