Sirkler er et viktig tema i geometri og analytisk geometri i Matematikk R1. En sirkel ser enkel ut, men den inneholder mange begreper som brukes i oppgaver om avstand, likninger, skjæring, tangenter, normaler, vektorer og geometriske bevis. Hvis du behersker begrepene, blir det lettere å lese oppgaven riktig og velge metode. Hvis du blander begrepene, kan du fort bruke riktig formel på feil måte.
Denne artikkelen forklarer de viktigste begrepene om sirkler for R1-elever. Du får korte definisjoner, eksempler og forklaringer på hvordan begrepene brukes i regning. Artikkelen passer både for elever i VG2, privatister og voksne som repeterer geometri. For å få mest ut av artikkelen bør du tegne en enkel sirkel mens du leser, og markere sentrum, radius, diameter, korde, tangent og normal.
Sirkel
En sirkel er mengden av alle punkter i planet som har samme avstand fra ett bestemt punkt. Det bestemte punktet kalles sentrum, og den faste avstanden kalles radius. Denne definisjonen er viktig fordi den kobler sirkler til avstand. Når et punkt ligger på sirkelen, er avstanden fra punktet til sentrum lik radius.
Hvis sentrum er S(a, b) og radius er r, kan sirkelen beskrives med likningen (x - a)² + (y - b)² = r². Dette er standardformen for en sirkel i koordinatsystemet. Den kommer direkte fra avstandsformelen. Et punkt (x, y) ligger på sirkelen når avstanden til sentrum er r.
Sentrum
Sentrum er punktet midt i sirkelen. Alle punkter på sirkelen ligger like langt fra sentrum. I likningen (x - a)² + (y - b)² = r² er sentrum (a, b). Legg merke til fortegnene. Hvis likningen er (x - 3)² + (y + 2)² = 25, er sentrum (3, -2), ikke (3, 2). Dette er en vanlig feil.
Sentrum brukes ofte når du skal finne radius, avgjøre om et punkt ligger på sirkelen, finne tangent, eller skrive likningen til en sirkel. Hvis du kjenner sentrum og ett punkt på sirkelen, kan du finne radius ved å bruke avstandsformelen.
Radius
Radius er avstanden fra sentrum til et punkt på sirkelen. Radius er alltid positiv. I sirkelens likning står r² på høyre side. Hvis likningen er (x - 1)² + (y - 4)² = 36, er radius 6, ikke 36. En vanlig feil er å glemme å ta kvadratroten.
Radius brukes også i areal og omkrets. Arealet av en sirkel er A = πr², og omkretsen er O = 2πr. I R1 er det likevel ofte sirkelens likning, avstand og tangent som er viktigst.
Diameter
Diameteren er et linjestykke som går gjennom sentrum og har endepunkter på sirkelen. Diameteren er dobbelt så lang som radius: d = 2r. Hvis radius er 5, er diameteren 10. Hvis diameteren er 14, er radius 7.