Sammensatte funksjoner er et tema der mange elever egentlig kan reglene, men likevel mister poeng fordi de blander begreper, hopper over definisjoner eller leser grafen for raskt. I Matematikk R1 handler temaet ikke bare om å finne et svar, men om å vise matematisk kontroll: Hva er funksjonen definert for? Hva skjer når x nærmer seg bestemte verdier? Hva skjer når x går mot svært store positive eller negative verdier? Og hvordan kan vi forklare dette med både algebra, graf og presist språk?
Du kan også øve videre med flere forklaringer i ifingo sin ressursbank, for eksempel /ressursbank/artikler/matematikk-r1, /ressursbank/artikler/funksjonsdrofting og /ressursbank/artikler/sammensatte-funksjoner.
Hva er en sammensatt funksjon?
En sammensatt funksjon oppstår når resultatet fra én funksjon brukes som input i en annen. Hvis vi har f(x) og g(x), kan vi lage f(g(x)). Det betyr at vi først regner ut g(x), og deretter setter svaret inn i f. Vi leser f(g(x)) som "f av g av x". Rekkefølgen er viktig: f(g(x)) er vanligvis ikke det samme som g(f(x)).
Et enkelt eksempel er f(x)=x^2 og g(x)=x+3. Da er f(g(x))=(x+3)^2, fordi vi setter g(x) inn der x står i f. Men g(f(x))=x^2+3, fordi vi setter f(x) inn der x står i g. Disse uttrykkene er forskjellige. Dette viser hvorfor sammensatte funksjoner krever presis lesing.
I R1 brukes sammensatte funksjoner i flere sammenhenger: funksjonsforståelse, modellering, derivasjon med kjerneregelen, omvendte funksjoner, grafisk tolkning og digitale verktøy. Derfor er det lurt å lære begrepene grundig tidlig.
Ytre og indre funksjon
Når vi skriver f(g(x)), kaller vi ofte g den indre funksjonen og f den ytre funksjonen. Den indre funksjonen regnes ut først. Den ytre funksjonen brukes på resultatet. I uttrykket (3x+1)^5 kan vi se den indre funksjonen som u=3x+1 og den ytre som u^5. Da er hele funksjonen en sammensetning av en lineær funksjon og en potensfunksjon.
Å kjenne igjen ytre og indre funksjon er særlig viktig når du skal derivere med kjerneregelen. Hvis h(x)=(3x+1)^5, er den ytre funksjonen "opphøyd i femte", mens kjernen er 3x+1. Den deriverte blir 5(3x+1)^4 · 3. Faktoren 3 kommer fra den indre funksjonen. Mange feil i derivasjon oppstår fordi eleven deriverer den ytre funksjonen, men glemmer å multiplisere med den deriverte av kjernen.
En nyttig øvelse er å markere kjernen med parentes. Spør: Hva er det "noe" som settes inn i en større funksjon? I sin(2x), hvis trigonometri er aktuelt, er 2x kjernen. I e^(x^2), hvis eksponentialfunksjoner er aktuelt, er x^2 kjernen. I ln(x+4) er x+4 kjernen. Prinsippet er det samme.