Produktregelen er en av de sentrale derivasjonsreglene i Matematikk R1. Den brukes når en funksjon er skrevet som et produkt av to funksjoner, for eksempel f(x)=(x^2+1)(3x-4), f(x)=x^2 e^x eller f(x)=x ln x. For å bruke regelen sikkert må du forstå begreper som faktor, produkt, funksjon, derivert, u, v, u' og v'. Denne artikkelen forklarer begrepene og viser hvordan de brukes i en ryddig R1-besvarelse.
Produkt
Et produkt er resultatet av multiplikasjon. I algebra betyr det at to eller flere uttrykk ganges sammen. I uttrykket (x+2)(x^2-1) er de to parentesene faktorer i et produkt. I uttrykket x sin x er x og sin x faktorer, selv om gangetegnet ikke står skrevet. Produktregelen er aktuell når begge faktorene avhenger av x. Hvis den ene faktoren bare er en konstant, holder det ofte med konstantfaktorregelen.
Å gjenkjenne produkter er viktig fordi produkter ikke kan deriveres ved å derivere faktorene hver for seg og gange svarene. Det er feil å tro at (uv)'=u'v'. Riktig regel er (uv)'=u'v+uv'. Dette uttrykket forteller at endringen i et produkt kommer fra endring i den første faktoren og endring i den andre faktoren.
Faktor
En faktor er en del av et produkt. Når vi bruker produktregelen, deler vi uttrykket inn i to faktorer som vi ofte kaller u og v. For eksempel kan f(x)=(x^2+3)(2x-1) deles inn i u=x^2+3 og v=2x-1. Da er u'=2x og v'=2. Produktregelen gir f'(x)=2x(2x-1)+(x^2+3)2.
Valg av faktorer er ofte naturlig, men ikke alltid unikt. I f(x)=3x^2 sin x kan du la u=3x^2 og v=sin x. Du kan også trekke konstanten 3 utenfor og se på 3(x^2 sin x). Begge metoder kan gi riktig svar. Det viktigste er at du er konsekvent og fører tydelig.
u og v
Bokstavene u og v er hjelpefunksjoner. De gjør føringen kortere og mer oversiktlig. Når du skriver u=... og v=..., viser du sensor at du har forstått produktstrukturen. Deretter finner du u' og v'. Til slutt setter du inn i formelen u'v+uv'. Denne framgangsmåten er spesielt nyttig når faktorene er lange eller når én faktor krever kjerneregelen.
Et eksempel er f(x)=x(2x^2-1)^5. Her kan u=x og v=(2x^2-1)^5. Da er u'=1, mens v' krever kjerneregelen: v'=5(2x^2-1)^44x=20x(2x^2-1)^4. Produktregelen gir f'(x)=1(2x^2-1)^5+x20x(2x^2-1)^4. Svaret kan eventuelt faktoriseres videre.
Derivert
Den deriverte av en funksjon beskriver momentan endring. Når vi bruker produktregelen, finner vi den deriverte av et produkt. Det betyr at vi undersøker hvordan hele produktet endrer seg når x endrer seg. Hvis begge faktorene endrer seg, må begge bidragene med. Derfor har produktregelen to ledd.