Denne artikkelen er skrevet for elever i Matematikk R1 som vil forstå viktige begreper i optimering i Matematikk R1 på en måte som holder i prøver, heldagsprøver og eksamen. I R1 er derivasjon mer enn å bruke en formel: du skal kunne velge metode, forklare hvorfor metoden passer, tolke svaret og kontrollere at uttrykket du får er matematisk rimelig. LK20 legger vekt på utforsking, presise resonnementer, representasjoner og digitale verktøy. Derfor bør du arbeide både symbolsk, grafisk, numerisk og med korte forklaringer i tekst.
I ifingo kan denne artikkelen brukes sammen med flere interne ressurser, for eksempel /ressursbank/artikler/derivasjon-r1, /ressursbank/artikler/funksjonsdrofting-r1 og /ressursbank/artikler/eksamen-matematikk-r1. Når du leser, bør du ikke bare spørre «hva er formelen?». Spør heller: Hva er den ytre funksjonen? Hva er den indre funksjonen? Hvilket uttrykk beskriver endring? Hvilke begrensninger ligger i definisjonsmengden? Og hvordan kan jeg kontrollere svaret mitt?
Hva betyr optimering?
Optimering betyr å finne den beste verdien under bestemte betingelser. I matematikk betyr «best» vanligvis størst eller minst. Du kan for eksempel finne størst areal, minst kostnad, størst volum, kortest avstand eller lavest materialforbruk. I R1 er optimering nært knyttet til derivasjon: Vi lager en funksjon som beskriver situasjonen, deriverer funksjonen, finner kritiske punkter og vurderer om punktene gir maksimum eller minimum.
En optimeringsoppgave er ofte mer tekstbasert enn en vanlig derivasjonsoppgave. Derfor tester den flere ferdigheter samtidig: algebra, modellering, funksjonsforståelse, derivasjon, tolkning og kommunikasjon. Du må oversette fra tekst til matematikk, velge variabel, finne en definisjonsmengde, sette opp en målfunksjon og til slutt tolke svaret i konteksten. Denne artikkelen forklarer de viktigste begrepene du må kunne.
Målfunksjon
Målfunksjonen er funksjonen du skal optimere. Hvis oppgaven spør etter størst areal, er arealet målfunksjonen. Hvis oppgaven spør etter lavest kostnad, er kostnaden målfunksjonen. Målfunksjonen bør skrives med én variabel før du deriverer.
Eksempel: Et rektangel har omkrets 40. Finn størst mulig areal. Hvis sidene er x og y, er arealet A=xy. Betingelsen er 2x+2y=40, som gir y=20-x. Da blir målfunksjonen A(x)=x(20-x)=20x-x^2. Nå kan vi derivere: A'(x)=20-2x. Når A'(x)=0, får vi x=10. Da er y=10, og rektangelet er et kvadrat.
Målfunksjonen er altså ikke alltid gitt direkte. Ofte må du bygge den ved hjelp av informasjonen i oppgaven.