Logaritmer er et av de viktigste begrepene i Matematikk R1 fordi de gir oss et språk for å løse eksponentiallikninger og forstå sammenhengen mellom potenser, funksjoner og vekst. Mange elever møter logaritmer som en ny knapp på kalkulatoren, men logaritmer er mye mer enn en teknisk funksjon. En logaritme svarer på spørsmålet: hvilken eksponent må vi bruke for å få et bestemt tall? Denne artikkelen forklarer de viktigste begrepene om logaritmer, med presise definisjoner, eksempler og koblinger til LK20-kompetansen i R1.
Hva er en logaritme?
En logaritme er den inverse operasjonen til en potens. Når vi skriver log_a(b) = c, betyr det at a^c = b. Grunntallet er a, resultatet av potensen er b, og logaritmen c er eksponenten vi leter etter. For eksempel er log_2(8) = 3 fordi 2^3 = 8. På samme måte er log_10(100) = 2 fordi 10^2 = 100.
I LK20 blir matematikk R1 vurdert som mer enn regneteknikk. Du skal bruke symbolske uttrykksformer, forklare valg, vurdere om en framgangsmåte er gyldig, og se sammenhengen mellom algebra, funksjoner og problemløsing. Det betyr at en god besvarelse ikke bare viser et sluttresultat. Den viser definisjonsmengde, regneregler, begrunnelser og kontroll. Når du arbeider med dette temaet på ifingo, bør du derfor kombinere korte teoriøkter med mange små oppgaver, og gjerne bruke /ressursbank/artikler/ for å repetere polynomer, faktorisering, likninger og funksjonsdrøfting ved siden av denne artikkelen.
Det viktigste begrepet er altså eksponent. Logaritmer handler ikke om å “dele på noe mystisk”; de handler om å finne en ukjent eksponent. Når du forstår dette, blir regnereglene mer logiske. Produkt, kvotient og potens i logaritmer henger direkte sammen med potensreglene du allerede kjenner fra tidligere matematikk.
Grunntall
Grunntallet i en logaritme er tallet som opphøyes i en eksponent. I log_a(b) er a grunntallet. I R1 arbeider du særlig med grunntall 10, grunntall e og noen ganger andre positive grunntall. Grunntallet må være positivt og ikke lik 1. Grunnen er at potenser med grunntall 1 alltid blir 1, og da kan vi ikke få en nyttig invers funksjon.
Når grunntallet er 10, skriver vi ofte log(x) i stedet for log_10(x). Dette kalles den briggske logaritmen eller tierlogaritmen. Når grunntallet er e, skriver vi ln(x). Dette kalles den naturlige logaritmen. Tallet e er omtrent 2,718 og er spesielt viktig i vekstmodeller, derivasjon og eksponentialfunksjoner.