Matematikk R1 i LK20 handler ikke bare om å kunne en formel utenat. Du skal kunne undersøke, begrunne, modellere, velge metode, tolke resultater og kommunisere matematikk presist. I temaet derivasjon betyr det at du må se sammenhengen mellom uttrykk, graf og endring. Produktregelen og kvotientregelen er derfor ikke isolerte triks, men verktøy du bruker når funksjoner er bygd opp av flere deler. Når du arbeider systematisk, blir reglene mindre mystiske: du identifiserer strukturen i funksjonen, velger riktig regel, deriverer delene, setter inn i formelen, forenkler og kontrollerer svaret.
Kvotientregelen brukes når en funksjon er en brøk der både teller og nevner kan være funksjoner av x, for eksempel f(x)=u(x)/v(x). Regelen skrives ofte som f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2. Tegnet mellom leddene i telleren er minus, og nevneren kvadreres. Dette er to detaljer som ofte avgjør om svaret blir riktig. Du kan også se kvotientregelen som en kombinasjon av produktregelen og kjerneregelen, fordi u/v kan skrives som u·v^{-1}.
De viktigste begrepene
Teller er uttrykket øverst i brøken, og nevner er uttrykket nederst. I kvotientregelen kaller vi ofte telleren u(x) og nevneren v(x). Den deriverte av telleren er u'(x), og den deriverte av nevneren er v'(x). Å skille disse fire uttrykkene er selve grunnmuren i metoden.
Definisjonsmengde er også viktig. En brøk er ikke definert når nevneren er null. Før du tolker en funksjon med kvotientregelen, bør du derfor undersøke hvilke x-verdier som ikke er lov. Dette er særlig viktig ved asymptoter, graftegning og drøfting.
Formelen f'(x)=(u'v-uv')/v^2 inneholder et minusledd. Rekkefølgen i telleren betyr noe. Mange feil kommer av at man bytter om på u'v og uv'. En trygg huskeregel er: den deriverte av toppen ganger bunnen, minus toppen ganger den deriverte av bunnen, alt over bunnen i andre.
Eksempler med begrepene i bruk
La f(x)=(x^2+1)/(x-2). Sett u=x^2+1 og v=x-2. Da er u'=2x og v'=1. Kvotientregelen gir f'(x)=(2x(x-2)-(x^2+1)·1)/(x-2)^2. Telleren kan forenkles til x^2-4x-1.
La g(x)=e^x/(x^2+1). Da er u=e^x, v=x^2+1, u'=e^x og v'=2x. Vi får g'(x)=(e^x(x^2+1)-e^x·2x)/(x^2+1)^2=e^x(x^2-2x+1)/(x^2+1)^2.
La h(x)=ln(x)/x. Da er u=ln(x), v=x, u'=1/x og v'=1. h'(x)=((1/x)·x-ln(x)·1)/x^2=(1-ln(x))/x^2. Husk at x>0.
Sammenheng med funksjonsdrøfting
Kvotientregelen brukes ofte når du skal finne vekstfart, ekstremalpunkter eller monotoniegenskaper for rasjonale funksjoner. Etter derivasjon må du ofte forenkle telleren, løse f'(x)=0 og samtidig huske hvilke x-verdier som ikke er med i definisjonsmengden.