Funksjonsdrøfting er et av de mest sentrale temaene i Matematikk R1. Når du drøfter en funksjon, undersøker du hvordan funksjonen oppfører seg: hvor den er definert, hvor den vokser eller synker, hvor den har topp- og bunnpunkter, om den har asymptoter, hvordan grafen krummer, og hva dette betyr i en modell. Funksjonsdrøfting er derfor ikke bare en samling teknikker. Det er en måte å analysere matematisk informasjon på.
I LK20/R1 skal eleven forstå begreper som vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse til å løse praktiske problemer. Eleven skal også analysere og tolke funksjoner ved hjelp av derivasjon. Denne artikkelen forklarer de viktigste begrepene du trenger for å mestre funksjonsdrøfting. Underveis får du interne ifingo-lenker til nærliggende temaer, blant annet derivasjon /ressursbank/artikler/derivasjon-kort-sammendrag-for-elever, rasjonale uttrykk /ressursbank/artikler/rasjonale-uttrykk-kort-sammendrag-for-elever og eksponentiallikninger /ressursbank/artikler/eksponentiallikninger-kort-sammendrag-for-elever.
Funksjon
En funksjon er en regel som gir nøyaktig én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden. Vi skriver ofte f(x). Eksempel: f(x)=x^2-4x+3. Når x=2, er f(2)=4-8+3=-1. I funksjonsdrøfting undersøker vi ikke bare enkeltverdier, men hele oppførselen til funksjonen.
Det første spørsmålet er alltid: Hvilke x-verdier kan brukes? Dette leder til definisjonsmengden.
Definisjonsmengde
Definisjonsmengden er mengden av x-verdier funksjonen er definert for. For polynomfunksjoner, som f(x)=x^3-2x+1, er definisjonsmengden alle reelle tall. For rasjonale funksjoner må vi passe på at nevneren ikke blir null. Hvis f(x)=1/(x-3), er x=3 ikke tillatt. For logaritmefunksjoner må uttrykket inni logaritmen være positivt. Hvis f(x)=ln(x-2), må x>2.
Definisjonsmengden er viktig fordi du ikke kan ha ekstremalpunkt, nullpunkt eller kontinuitet der funksjonen ikke finnes. Mange feil i funksjonsdrøfting starter med at eleven glemmer definisjonsmengden.
Verdimengde
Verdimengden er mengden av y-verdier funksjonen kan få. For f(x)=x^2 er verdimengden y≥0. For f(x)=e^x er verdimengden y>0. Verdimengden kan være vanskeligere å finne enn definisjonsmengden, men den gir viktig informasjon om grafen og modellen.
I praktiske oppgaver kan verdimengden fortelle hvilke verdier som er realistiske. Hvis en modell beskriver antall personer, kan negative y-verdier være matematisk mulige i et uttrykk, men ikke praktisk meningsfulle.