Sammensatte funksjoner er et viktig R1-tema fordi det viser hvordan vi kan bygge nye funksjoner av funksjoner vi allerede kjenner, eller hvordan vi kan regne effektivt med endring. I LK20 handler Matematikk R1 ikke bare om å finne riktig svar, men om å bruke presise begreper, forklare strategier, vurdere modeller og kommunisere matematikk på en måte som andre kan kontrollere. Derfor må du kunne mer enn en kort regel. Du må forstå hva uttrykkene betyr, når metodene gjelder, og hvordan du kan begrunne valgene dine.
Du kan øve videre i ifingo sin ressursbank med relevante forklaringer og oppgaver: /ressursbank/artikler/matematikk-r1, /ressursbank/artikler/funksjoner, /ressursbank/artikler/derivasjon og /ressursbank/artikler/sammensatte-funksjoner.
Hvorfor sammensatte funksjoner skaper feil
Sammensatte funksjoner virker ofte enkle når læreren viser dem på tavla: Du setter én funksjon inn i en annen. Likevel er temaet en av de vanligste kildene til små, men avgjørende feil i R1. Grunnen er at sammensetning krever at du holder orden på rekkefølge, parenteser, definisjonsmengder, verdimengder og notasjon samtidig. Hvis f(x)=x^2 og g(x)=x+3, er f(g(x)) ikke det samme som g(f(x)). Den ene gir (x+3)^2, mens den andre gir x^2+3. Begge uttrykkene bruker de samme to funksjonene, men de beskriver to ulike operasjoner.
En sammensatt funksjon kan skrives som f(g(x)). Det betyr at x først går inn i g, og at resultatet deretter går inn i f. Du kan tenke på det som en maskinrekke: input, indre funksjon, mellomresultat, ytre funksjon, sluttverdi. Feil oppstår når elever leser notasjonen fra venstre mot høyre som om f skal brukes først. I f(g(x)) er det faktisk g som brukes først.
Feil 1: Å bruke funksjonene i feil rekkefølge
Den viktigste feilen er rekkefølgefeilen. Hvis f(x)=2x-1 og g(x)=x^2+4, får vi f(g(x))=2(x^2+4)-1=2x^2+7. Men g(f(x))=(2x-1)^2+4=4x^2-4x+5. Dette er ikke samme funksjon. Når oppgaven ber deg finne f(g(x)), må du først identifisere den indre funksjonen. Det som står innerst i parentesen, g(x), skal regnes ut først.
Et godt arbeidsgrep er å skrive en mellomlinje: f(g(x)) = f(x^2+4). Deretter spør du: Hva gjør f med en input? Den ganger inputen med 2 og trekker fra 1. Da blir inputen x^2+4, ikke bare x. Dette lille mellomsteget reduserer mange feil. På prøve bør du vise det, fordi sensor ser at du behersker strukturen og ikke bare gjetter på et uttrykk.