Tangent og normal er et av de tydeligste stedene i Matematikk R1 der algebra, funksjonsforståelse, grafisk tolkning og derivasjon møtes. Når du arbeider med tangent og normal, bruker du den deriverte til å beskrive en lokal egenskap ved grafen: hvor bratt grafen er akkurat i ett punkt. Det kan virke som et lite tema, men det dukker opp i mange oppgaver om funksjonsdrøfting, modellering, vekstfart, lineære tilnærminger og matematisk argumentasjon.
I LK20 handler matematikk ikke bare om å sette inn tall i en formel. Du skal kunne utforske, resonnere, representere, modellere og kommunisere matematikk presist. Derfor må du kunne forklare hva tangentens stigningstall betyr, hvordan normalens stigningstall henger sammen med tangenten, og hvordan du skriver en linjelikning som faktisk går gjennom riktig punkt. En løsning som bare består av et svar, er sjelden sterk nok i R1. Sensor må se sammenhengen mellom funksjonen, den deriverte, punktet på grafen og konklusjonen.
Denne artikkelen er skrevet for VG2-elever i Matematikk R1, men passer også for privatister og elever som repeterer før heldagsprøve, muntlig-praktisk vurdering eller eksamen. Bruk den gjerne sammen med ifingo-artiklene [/ressursbank/artikler/derivasjonsregler](/ressursbank/artikler/derivasjonsregler), [/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting](/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting), [/ressursbank/artikler/kjerneregelen](/ressursbank/artikler/kjerneregelen), [/ressursbank/artikler/optimering](/ressursbank/artikler/optimering) og [/ressursbank/artikler/vekstfart](/ressursbank/artikler/vekstfart). Målet er at du skal forstå både regningen, språket og vurderingsnivået som kreves i R1.
Kort sammendrag
Tangent og normal handler om linjer knyttet til en graf i ett bestemt punkt. Tangenten viser grafens lokale retning, mens normalen står vinkelrett på tangenten. I R1 finner du tangentens stigningstall ved å derivere funksjonen og sette inn x-verdien til punktet.
Hvis punktet ligger ved x = a, er punktet på grafen (a, f(a)). Tangentens stigningstall er f'(a). Tangentlikningen kan skrives som y - f(a) = f'(a)(x - a). Dette er den viktigste formelen i temaet.
Normalen går gjennom samme punkt, men har stigningstall -1/f'(a), dersom f'(a) ikke er null. Hvis f'(a) = 0, er tangenten horisontal og normalen vertikal. Da skriver du normalen som x = a.
Fremgangsmåte for tangent
- Finn punktet: regn ut f(a).
- Deriver funksjonen: finn f'(x).
- Finn stigningstallet: regn ut f'(a).
- Bruk ettpunktsformelen: y - f(a) = f'(a)(x - a).
- Rydd uttrykket hvis du skal skrive svaret på formen y = ax + b.