Sammensatte funksjoner betyr at én funksjon brukes inni en annen. Hvis vi skriver h(x)=f(g(x)), betyr det at x først settes inn i g, og at resultatet deretter settes inn i f. Dette er et kjernepunkt i Matematikk R1 fordi temaet kobler sammen funksjonsnotasjon, algebra, grafer, definisjonsmengde og derivasjon med kjerneregel.
Du kan øve videre i ifingo sin ressursbank med relevante forklaringer og oppgaver: /ressursbank/artikler/matematikk-r1, /ressursbank/artikler/funksjoner, /ressursbank/artikler/derivasjon og /ressursbank/artikler/sammensatte-funksjoner.
Hovedideen
En funksjon kan forstås som en regel som tar en input og gir en output. I en sammensatt funksjon blir output fra den første regelen input i den neste. Hvis g(x)=x+2 og f(x)=x^2, får vi f(g(x))=f(x+2)=(x+2)^2. Det betyr at vi først legger til 2, og deretter kvadrerer. Hvis vi bytter rekkefølgen, får vi g(f(x))=g(x^2)=x^2+2. Disse uttrykkene er ulike.
Derfor er rekkefølge det viktigste å huske. I f(g(x)) brukes g først, selv om f står først i uttrykket. Les innenfra og ut: innerst først, ytterst sist.
Notasjon
Sammensetning kan skrives som f(g(x)), men også som (f∘g)(x). Symbolet ∘ leses ofte som "sammensatt med". Når vi skriver (f∘g)(x), betyr det det samme som f(g(x)). Det er viktig å merke seg at (f∘g)(x) vanligvis ikke er det samme som (g∘f)(x).
I en løsning kan du gjerne skrive: "Indre funksjon: g(x). Ytre funksjon: f(x)." Da blir det tydelig hvilken funksjon som skal brukes først. Dette er spesielt nyttig når uttrykkene er lange.
Enkel framgangsmåte
Først finner du den indre funksjonen. Deretter setter du hele uttrykket inn i den ytre funksjonen med parenteser. Så forenkler du hvis oppgaven ber om det. Til slutt vurderer du definisjonsmengden.
Eksempel: f(x)=x^2-3x og g(x)=2x+1. Vi skal finne f(g(x)). Da setter vi 2x+1 inn overalt der f har x: f(g(x))=(2x+1)^2-3(2x+1). Hvis vi utvider, får vi 4x^2+4x+1-6x-3=4x^2-2x-2.
Parenteser
Parenteser er avgjørende. Når du setter inn g(x), skal hele g(x) behandles som én input. Hvis f(x)=1/(x-4) og g(x)=x^2+1, blir f(g(x))=1/(x^2+1-4)=1/(x^2-3). Hele x^2+1 står i nevneren før vi trekker fra 4. Uten parenteser er det lett å lage et uttrykk som betyr noe annet.
En god regel er: Skriv først innsettingen uten å forenkle. Deretter jobber du videre. Ikke prøv å gjøre alt i hodet.