Rasjonale uttrykk er en av de delene av algebraen i Matematikk 1T der mange elever kan mye mer enn de først tror. Et rasjonalt uttrykk er et uttrykk der vi har en brøk med algebraiske uttrykk, for eksempel (x+2)/(x-3), (x^2-9)/(x+3) eller 4/(2x). Det betyr at temaet bygger på brøkregning, faktorisering, polynomer, likninger og funksjonsforståelse. Når du behersker rasjonale uttrykk, ser du sammenhenger mellom flere kapitler i 1T. Du lærer å forenkle, utvide, forkorte, finne fellesnevner og tolke når et uttrykk ikke er definert.
I LK20 handler ikke matematikk bare om å huske en regel. Du skal kunne resonnere, argumentere, velge metode og forklare hvorfor svaret gir mening. Rasjonale uttrykk passer godt til dette, fordi en løsning ofte krever at du vurderer både algebraisk teknikk og betingelser. Det er ikke nok å forkorte et uttrykk mekanisk. Du må også spørre: Hvilke x-verdier gjør nevneren null? Hvilke faktorer kan faktisk forkortes? Har jeg endret uttrykkets definisjonsmengde? Denne artikkelen gir en grundig og praktisk innføring, med naturlige steg fra idé til eksamensbruk.
Du kan gjerne bruke denne artikkelen sammen med andre ifingo-ressurser i algebra, for eksempel /ressursbank/artikler/faktorisering-forklart-enkelt, /ressursbank/artikler/polynomer-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/brokregning-forklart-enkelt. De tre temaene er spesielt viktige når du skal bli trygg på rasjonale uttrykk.
Oppgaver med løsningsforslag
Oppgave 1
Forenkle (3x+9)/(x+3). Betingelse: x+3 må ikke være 0, altså x ulik -3. Faktoriser telleren: 3x+9=3(x+3). Da får vi 3(x+3)/(x+3)=3. Svar: 3, der x er ulik -3.
Oppgave 2
Forenkle (x^2-25)/(x-5). Betingelse: x ulik 5. Telleren er x^2-25=(x-5)(x+5). Da blir uttrykket ((x-5)(x+5))/(x-5)=x+5. Svar: x+5, der x er ulik 5.
Oppgave 3
Regn ut 2/x + 3/(x+1). Betingelser: x ulik 0 og x ulik -1. Fellesnevneren er x(x+1). Første brøk utvides med x+1, andre med x. Da får vi 2(x+1)/(x(x+1)) + 3x/(x(x+1)) = (2x+2+3x)/(x(x+1)) = (5x+2)/(x(x+1)).
Oppgave 4
Regn ut 1/(x-3) - 2/(x+3). Betingelser: x ulik 3 og x ulik -3. Fellesnevneren er (x-3)(x+3). Telleren blir (x+3)-2(x-3)=x+3-2x+6=-x+9. Svar: (-x+9)/((x-3)(x+3)).
Disse oppgavene viser de fire viktigste ferdighetene: finne betingelser, faktorisere, forkorte og bruke fellesnevner. Når du mestrer disse, er du klar for mer sammensatte 1T-oppgaver.
Hva betyr rasjonale uttrykk?