Matematikk R1 i LK20 handler ikke bare om å kunne en formel utenat. Du skal kunne undersøke, begrunne, modellere, velge metode, tolke resultater og kommunisere matematikk presist. I temaet derivasjon betyr det at du må se sammenhengen mellom uttrykk, graf og endring. Produktregelen og kvotientregelen er derfor ikke isolerte triks, men verktøy du bruker når funksjoner er bygd opp av flere deler. Når du arbeider systematisk, blir reglene mindre mystiske: du identifiserer strukturen i funksjonen, velger riktig regel, deriverer delene, setter inn i formelen, forenkler og kontrollerer svaret.
Produktregelen brukes når en funksjon er et produkt av to funksjoner, for eksempel f(x)=u(x)·v(x). Regelen sier at den deriverte er f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x). Den viktigste ideen er at begge faktorene kan endre seg samtidig. Derfor holder det ikke å derivere bare den ene faktoren, og det holder heller ikke å derivere begge og multiplisere dem med hverandre. Produktregelen summerer to bidrag: først endringen i den første faktoren mens den andre beholdes, deretter endringen i den andre faktoren mens den første beholdes.
Kort forklart
Produktregelen: Hvis f(x)=u(x)v(x), er f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Regelen brukes når funksjonen er et produkt av to uttrykk som begge kan variere med x. Den viktigste huskeregelen er: deriver den første og behold den andre, pluss behold den første og deriver den andre.
Produktregelen brukes ofte sammen med andre regler. Hvis en faktor er sammensatt, må du bruke kjerneregelen inne i produktregelen. Hvis en faktor er ln(x), e^x, en potens eller et polynom, må du kunne de grunnleggende derivasjonsreglene samtidig.
Et ryddig svar har vanligvis fire linjer: definer u og v, finn u' og v', sett inn i regelen, og forenkle. Denne strukturen er nok til å løse de fleste produktregeloppgaver i R1.
Mini-eksempler
La f(x)=(x^2+3x)(2x-5). Her er u=x^2+3x og v=2x-5. Da er u'=2x+3 og v'=2. Produktregelen gir f'(x)=(2x+3)(2x-5)+(x^2+3x)·2. Etterpå kan du forenkle hvis oppgaven ber om det, men det viktigste er at begge leddene er med.
La g(x)=e^x(x^2-4). Her er u=e^x og v=x^2-4. Siden u'=e^x og v'=2x, får vi g'(x)=e^x(x^2-4)+e^x·2x. Dette kan faktoriseres til e^x(x^2+2x-4). Faktorisering gjør uttrykket ryddigere og kan være nyttig ved fortegnsskjema.
La h(x)=ln(x)(x^3+1). Her må du kombinere logaritmederivasjon av ln(x) med polynomderivasjon. h'(x)=1/x·(x^3+1)+ln(x)·3x^2. Et vanlig kontrollpunkt er definisjonsmengden: ln(x) krever x>0.
Huskeregler