Parameterframstilling er en måte å beskrive en rett linje ved hjelp av et punkt, en retningsvektor og en parameter. Temaet er sentralt i Matematikk R1 fordi det binder sammen vektorer, geometri, algebra og likningssystemer. Hvis du forstår hovedideen, blir mange oppgaver oversiktlige: en linje er alle punkter du kan nå ved å starte i ett punkt og gå langs én bestemt retning.
Denne artikkelen hører hjemme i arbeidet med geometri og vektorer i Matematikk R1. Vil du repetere grunnlaget først, kan du bruke ifingo-artiklene /ressursbank/artikler/viktige-begreper-om-parameterframstilling, /ressursbank/artikler/viktige-begreper-om-vektorer-i-planet og /ressursbank/artikler/skalarprodukt-kort-sammendrag-for-elever. Når du arbeider med linjer, posisjonsvektorer og parameter, er målet ikke bare å regne riktig, men å forstå hva symbolene sier om bevegelse, retning og punkt i planet.
Hovedformelen
En parameterframstilling av en linje i planet kan skrives slik:
x = x0 + at y = y0 + bt
Her er (x0, y0) et punkt på linjen. Vektoren [a, b] er en retningsvektor for linjen. Parameteren t er et reelt tall som kan variere. Når t endrer verdi, får du ulike punkter på linjen. Hvis t = 0, får du startpunktet. Hvis t = 1, går du én retningsvektor fra startpunktet. Hvis t = -1, går du én retningsvektor motsatt vei.
Hva du må huske
Du trenger to ting for å lage en parameterframstilling: ett punkt på linjen og én retningsvektor. Hvis du har to punkter A(x1, y1) og B(x2, y2), finner du retningsvektoren ved å trekke koordinatene:
AB = [x2 - x1, y2 - y1]
Deretter kan du bruke A som startpunkt. Da blir framstillingen x = x1 + (x2 - x1)t og y = y1 + (y2 - y1)t. Du kan også bruke B som startpunkt, men da må retningsvektoren fortsatt være parallell med linjen.
Eksempel fra to punkter
La A(2, 3) og B(8, 6) ligge på linjen. Først finner vi retningsvektoren:
AB = [8 - 2, 6 - 3] = [6, 3]
En parameterframstilling blir derfor
x = 2 + 6t y = 3 + 3t
Kontroll: Når t = 0, får vi A(2, 3). Når t = 1, får vi (8, 6), altså B. Dermed stemmer framstillingen. Vi kunne også brukt [2, 1] som retningsvektor, siden [2, 1] er parallell med [6, 3]. Da ville parameterverdiene blitt annerledes, men linjen den samme.
Punkt på linje
For å undersøke om et punkt ligger på en parameterlinje, setter du punktets koordinater inn i de to likningene. Du må få samme verdi for parameteren i begge. Hvis linjen er x = 1 + 2t og y = 4 - t, og punktet er P(5, 2), får du 5 = 1 + 2t, altså t = 2. I y-likningen får du 2 = 4 - t, altså t = 2. Samme parameter passer, så punktet ligger på linjen.