Optimering er temaet der du bruker funksjoner og derivasjon til å finne den beste mulige løsningen. I Matematikk 1T betyr det ofte å finne størst areal, minst kostnad, størst fortjeneste, kortest avstand eller en annen maksimal eller minimal verdi. Her får du oppgaver med løsningsforslag som trener deg i metode, mellomregning og tolkning. Se også /ressursbank/artikler/hva-er-optimering, /ressursbank/artikler/derivasjonsregler-forklart-enkelt, /ressursbank/artikler/tangent-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/grafdrofting-forklart-enkelt.
Oppgaver med løsningsforslag
Oppgave 1: A(x) = -x² + 12x beskriver arealet av en figur for 0 ≤ x ≤ 12. Finn største areal. Løsning: A'(x) = -2x + 12. Vi setter A'(x) = 0 og får -2x + 12 = 0, altså x = 6. A(6) = -36 + 72 = 36. Endepunktene gir A(0) = 0 og A(12) = 0. Største areal er derfor 36.
Oppgave 2: K(x) = x² - 8x + 30 er en kostnadsmodell. Finn laveste kostnad. Løsning: K'(x) = 2x - 8. K'(x) = 0 gir x = 4. K(4) = 16 - 32 + 30 = 14. Siden grafen er en parabel som vender oppover, er dette et minimum. Laveste kostnad er 14 i modellens enhet.
Oppgave 3: F(x) = -2x² + 20x - 18 beskriver fortjeneste for 0 ≤ x ≤ 10. Finn maksimal fortjeneste. Løsning: F'(x) = -4x + 20. F'(x) = 0 gir x = 5. F(5) = -50 + 100 - 18 = 32. Endepunktene gir F(0) = -18 og F(10) = -18. Maksimal fortjeneste er 32 når x = 5.
Hva betyr optimering?
Å optimere betyr å gjøre noe best mulig innenfor bestemte rammer. I matematikk oversetter vi rammene til en funksjon, og vi undersøker hvor funksjonen blir størst eller minst. Funksjonen kan beskrive areal, volum, kostnad, inntekt, fortjeneste, avstand eller en annen størrelse. I Matematikk 1T er poenget at du skal koble praktisk situasjon, algebra og derivasjon.
Optimering handler derfor ikke bare om å regne. Du må først forstå situasjonen. Hva varierer? Hva er fast? Hva skal bli størst eller minst? Når du har svart på dette, kan du velge variabel og lage en funksjon. Det er ofte den vanskeligste delen. Selve derivasjonen er ofte kortere enn modelleringen.
Et typisk eksempel er et rektangel med gitt omkrets. Hvis omkretsen er 40 meter, kan bredden være x og lengden være 20 - x. Arealet blir da A(x) = x(20 - x). Vi kan bruke derivasjon til å finne hvilken x-verdi som gir størst areal. Da bruker vi matematikk til å begrunne en optimal løsning, ikke bare til å prøve tilfeldige tall.
Den faste metoden i optimering