Optimering er temaet der du bruker funksjoner og derivasjon til å finne den beste mulige løsningen. I Matematikk 1T betyr det ofte å finne størst areal, minst kostnad, størst fortjeneste, kortest avstand eller en annen maksimal eller minimal verdi. Her går vi gjennom konkrete eksempler slik at du ser hvordan optimering faktisk løses fra start til slutt. Se også /ressursbank/artikler/hva-er-optimering, /ressursbank/artikler/derivasjonsregler-forklart-enkelt, /ressursbank/artikler/tangent-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/grafdrofting-forklart-enkelt.
Gjennomarbeidet eksempel: størst areal
Et rektangel har omkrets 40 m. Finn størst mulig areal. Vi lar x være bredden. Da blir lengden 20 - x, fordi 2x + 2l = 40 gir x + l = 20. Arealet blir A(x) = x(20 - x) = 20x - x². Definisjonsområdet er 0 < x < 20.
Vi deriverer: A'(x) = 20 - 2x. For å finne mulig toppunkt setter vi A'(x) = 0. Da får vi 20 - 2x = 0, altså x = 10. Arealet blir A(10) = 10(20 - 10) = 100. Siden arealfunksjonen er en parabel som vender nedover, er dette et maksimum.
Svaret er derfor at arealet er størst når bredden er 10 m og lengden er 10 m. Det største arealet er 100 m². Legg merke til at vi ikke bare svarte x = 10; vi oversatte resultatet tilbake til situasjonen.
Hva betyr optimering?
Å optimere betyr å gjøre noe best mulig innenfor bestemte rammer. I matematikk oversetter vi rammene til en funksjon, og vi undersøker hvor funksjonen blir størst eller minst. Funksjonen kan beskrive areal, volum, kostnad, inntekt, fortjeneste, avstand eller en annen størrelse. I Matematikk 1T er poenget at du skal koble praktisk situasjon, algebra og derivasjon.
Optimering handler derfor ikke bare om å regne. Du må først forstå situasjonen. Hva varierer? Hva er fast? Hva skal bli størst eller minst? Når du har svart på dette, kan du velge variabel og lage en funksjon. Det er ofte den vanskeligste delen. Selve derivasjonen er ofte kortere enn modelleringen.
Et typisk eksempel er et rektangel med gitt omkrets. Hvis omkretsen er 40 meter, kan bredden være x og lengden være 20 - x. Arealet blir da A(x) = x(20 - x). Vi kan bruke derivasjon til å finne hvilken x-verdi som gir størst areal. Da bruker vi matematikk til å begrunne en optimal løsning, ikke bare til å prøve tilfeldige tall.
Den faste metoden i optimering
En god optimeringsløsning følger en fast struktur. Først definerer du variabelen. Skriv for eksempel: «La x være bredden i meter.» Deretter lager du funksjonen som beskriver størrelsen som skal optimeres. Hvis det er areal, lager du A(x). Hvis det er kostnad, lager du K(x). Hvis det er fortjeneste, lager du F(x).