Linjer er et sentralt tema i Matematikk R1 fordi de binder sammen algebra, funksjoner, geometri og vektorer. En linje kan beskrives med en graf, en likning, to punkter, et punkt og et stigningstall, eller et punkt og en retningsvektor. Når du forstår disse beskrivelsene som ulike språk for samme objekt, blir temaet mye mer oversiktlig.
Dette sammendraget gir deg det viktigste du bør kunne om linjer før prøve eller eksamen. Det er laget for rask repetisjon, men med nok forklaring til at du kan bruke det som faglig støtte. Du får definisjoner, formler, typiske metoder, kontrollspørsmål og vanlige fallgruver. For mer utdyping kan du bruke ifingos artikler om [parameterframstilling](/ressursbank/artikler/parameterframstilling-kort-sammendrag-for-elever), [vektorer i planet](/ressursbank/artikler/vektorer-i-planet-kort-sammendrag-for-elever) og [skalarprodukt](/ressursbank/artikler/skalarprodukt-kort-sammendrag-for-elever).
Hva er en linje?
En linje er en rett, uendelig punktmengde. Den fortsetter i begge retninger. I koordinatsystemet kan den beskrives ved alle punkter (x, y) som oppfyller en bestemt betingelse. En linje er ikke det samme som et linjestykke. Et linjestykke har to endepunkter og er bare en begrenset del av linjen.
I R1 bruker du ofte linjer til å beskrive sammenhenger mellom variabler, retninger i planet, skjæringspunkter, tangenter, normaler og geometriske figurer. Derfor er det viktig å kunne skifte mellom ulike representasjoner.
Formen y = ax + b
Den vanligste linjeformen er y = ax + b. Her er a stigningstallet og b konstantleddet. Stigningstallet forteller hvor mye y endrer seg når x øker med 1. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer y-aksen. Hvis a er positivt, stiger linjen mot høyre. Hvis a er negativt, faller linjen mot høyre. Hvis a = 0, er linjen vannrett.
Eksempel: y = 3x - 2 har stigningstall 3 og skjærer y-aksen i -2. Når x øker med 1, øker y med 3. Punktet (0, -2) ligger på linjen, og punktet (1, 1) ligger også på linjen.
Stigningstall fra to punkter
Hvis du har to punkter A(x₁, y₁) og B(x₂, y₂), finner du stigningstallet med a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), så lenge x₂ ikke er lik x₁. Hvis x₂ = x₁, er linjen loddrett, og den kan ikke skrives som y = ax + b.
Eksempel: A(2, 5) og B(6, 13). Da er a = (13 - 5)/(6 - 2) = 8/4 = 2. Linjen har stigningstall 2. Bruker vi punktet A, får vi y = 2x + b. Siden 5 = 2 · 2 + b, er b = 1. Linjen er y = 2x + 1.
Punktform