Lineære modeller er en av de viktigste modelltypene i Matematikk 2P. En lineær modell beskriver en sammenheng der endringen er konstant. Grafen er en rett linje, og modellen kan ofte skrives som f(x)=ax+b. Her er a stigningstallet og b konstantleddet. I muntlig vurdering må du kunne forklare hva disse tallene betyr i en praktisk situasjon.
I 2P er modellering tett knyttet til hverdagslige, samfunnsfaglige og økonomiske situasjoner. Du kan møte lineære modeller i lønn, kostnader, abonnement, temperaturendring, avstand, produksjon eller statistiske data. På /ressursbank/artikler/ kan du se flere ifingo-artikler om funksjoner, GeoGebra, regresjon og praktiske modeller.
Hva kjennetegner en lineær modell?
En modell er lineær når like store økninger i x gir like store endringer i y. Hvis en drosjetur koster 80 kroner i startpris og 22 kroner per kilometer, øker prisen med 22 kroner hver gang avstanden øker med én kilometer. Dette kan modelleres med P(x)=22x+80. Stigningstallet er 22, og konstantleddet er 80.
I muntlig vurdering bør du forklare modellen med enhet: x er antall kilometer, P(x) er pris i kroner, 22 er kroner per kilometer, og 80 er startpris. En modell uten enhet og tolkning er svakere enn en modell som er tydelig knyttet til situasjonen.
Stigningstall og konstantledd
Stigningstallet a forteller hvor mye y endrer seg når x øker med 1. Hvis a er positiv, stiger grafen. Hvis a er negativ, synker grafen. Hvis a=0, er funksjonen konstant. Konstantleddet b forteller verdien når x=0, dersom x=0 gir mening i konteksten.
Du kan beregne stigningstallet fra to punkter med formelen a=(y2-y1)/(x2-x1). Dette er gjennomsnittlig endring per x-enhet. I en lineær modell er denne endringen den samme overalt. Hvis punktene er (2, 140) og (5, 230), blir a=(230-140)/(5-2)=90/3=30. Modellen øker altså med 30 per enhet.
Eksempel: abonnement
Et treningssenter tar 199 kroner i fast månedspris og 30 kroner per gruppetime. Hvis x er antall gruppetimer og K(x) er kostnaden, blir modellen K(x)=30x+199. I en muntlig forklaring kan du si: «Konstantleddet 199 er det man betaler uansett. Stigningstallet 30 betyr at kostnaden øker med 30 kroner for hver ekstra gruppetime.»
Hvis læreren spør hvor mye 6 gruppetimer koster, setter du inn x=6: K(6)=30·6+199=379. Tolk svaret: 6 gruppetimer koster 379 kroner den måneden. Hvis læreren spør hvor mange timer man kan ha for 500 kroner, løser du 30x+199=500. Da får du 30x=301 og x≈10,03. I praksis betyr det at man kan ha 10 hele gruppetimer uten å overstige 500 kroner.