Tangent og normal er et av de tydeligste stedene i Matematikk R1 der algebra, funksjonsforståelse, grafisk tolkning og derivasjon møtes. Når du arbeider med tangent og normal, bruker du den deriverte til å beskrive en lokal egenskap ved grafen: hvor bratt grafen er akkurat i ett punkt. Det kan virke som et lite tema, men det dukker opp i mange oppgaver om funksjonsdrøfting, modellering, vekstfart, lineære tilnærminger og matematisk argumentasjon.
I LK20 handler matematikk ikke bare om å sette inn tall i en formel. Du skal kunne utforske, resonnere, representere, modellere og kommunisere matematikk presist. Derfor må du kunne forklare hva tangentens stigningstall betyr, hvordan normalens stigningstall henger sammen med tangenten, og hvordan du skriver en linjelikning som faktisk går gjennom riktig punkt. En løsning som bare består av et svar, er sjelden sterk nok i R1. Sensor må se sammenhengen mellom funksjonen, den deriverte, punktet på grafen og konklusjonen.
Denne artikkelen er skrevet for VG2-elever i Matematikk R1, men passer også for privatister og elever som repeterer før heldagsprøve, muntlig-praktisk vurdering eller eksamen. Bruk den gjerne sammen med ifingo-artiklene [/ressursbank/artikler/derivasjonsregler](/ressursbank/artikler/derivasjonsregler), [/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting](/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting), [/ressursbank/artikler/kjerneregelen](/ressursbank/artikler/kjerneregelen), [/ressursbank/artikler/optimering](/ressursbank/artikler/optimering) og [/ressursbank/artikler/vekstfart](/ressursbank/artikler/vekstfart). Målet er at du skal forstå både regningen, språket og vurderingsnivået som kreves i R1.
Grunnideen: tangent, normal og derivasjon
En tangent er en rett linje som følger grafen akkurat i et bestemt punkt. Den kan beskrives som grafens lokale retning. Hvis funksjonen heter f, og vi ser på punktet der x = a, er tangentens stigningstall lik f'(a). Det betyr at tangenten ikke bestemmes bare av punktet, men også av hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat der.
Normalen er en rett linje som står vinkelrett på tangenten i samme punkt. Hvis tangenten har stigningstall m, har normalen stigningstall -1/m, så lenge m ikke er null. Dette bygger på regelen for vinkelrette linjer: produktet av stigningstallene er -1. Hvis tangenten er horisontal, altså m = 0, er normalen vertikal og kan skrives som x = a. Denne spesialsituasjonen er viktig fordi en vertikal linje ikke kan skrives på formen y = ax + b.
Tangentformelen
Den mest nyttige formen for tangentlikningen er ettpunktsformen
y - f(a) = f'(a)(x - a).