Rasjonale uttrykk er algebraiske brøker der teller og nevner er polynomer. Et enkelt eksempel er (x + 2)/(x - 3). Et mer sammensatt eksempel er (x^2 - 9)/(x^2 - 3x). Rasjonale uttrykk er viktige i Matematikk 1T fordi de binder sammen brøkregning, faktorisering, likninger og funksjoner. Hvis du forstår rasjonale uttrykk, blir det lettere å forkorte algebraiske brøker, finne definisjonsmengder og løse likninger med brøker.
I denne artikkelen forklarer vi hva rasjonale uttrykk er, hvordan du finner verdier x ikke kan ha, hvordan du forkorter riktig, og hvilke feil du må unngå. Artikkelen passer for VG1 etter LK20 og kan brukes sammen med ifingo sin /ressursbank/artikler/ om brøkregning, polynomer, faktorisering og likninger.
Definisjon
Et rasjonalt uttrykk er en brøk der både teller og nevner er polynomer. Ordet rasjonal henger sammen med forhold. Akkurat som en vanlig brøk er et forhold mellom to tall, er et rasjonalt uttrykk et forhold mellom to algebraiske uttrykk. Eksempler er 3/x, (x + 1)/(x - 2), (2x^2 + 5x)/(x^2 - 4) og (x^2 - 1)/(x + 1).
Nevneren kan aldri være 0. Dette er den viktigste regelen. En brøk med 0 i nevneren er ikke definert. Derfor må du alltid undersøke hvilke x-verdier som gjør nevneren lik 0.
Hvorfor nevneren ikke kan være 0
I vanlig brøkregning kan du regne 6/3 = 2, men 6/0 gir ingen mening. Det finnes ikke et tall som multiplisert med 0 blir 6. Den samme regelen gjelder i algebra. Hvis vi har uttrykket (x + 2)/(x - 3), kan x ikke være 3, fordi nevneren da blir 3 - 3 = 0.
Dette kalles ofte en begrensning eller en del av definisjonsmengden. For uttrykket (x + 2)/(x - 3) er definisjonsmengden alle reelle tall unntatt x = 3. På skolen kan du skrive: x ≠ 3.
Eksempel: Finn begrensningene
Se på uttrykket (x^2 - 4)/(x - 2). Nevneren er x - 2. Vi setter nevneren lik 0: x - 2 = 0, altså x = 2. Derfor kan x ikke være 2. Begrensningen er x ≠ 2.
Legg merke til at dette gjelder selv om uttrykket kan forkortes. Telleren x^2 - 4 kan faktoriseres som (x - 2)(x + 2), og da ser uttrykket ut som ((x - 2)(x + 2))/(x - 2). Vi kan forkorte x - 2, men x = 2 er fortsatt ikke lov i det opprinnelige uttrykket. Det er en viktig detalj.
Forkorting av rasjonale uttrykk
Å forkorte et rasjonalt uttrykk betyr å dele teller og nevner på samme faktor. Du kan bare forkorte faktorer, ikke enkeltledd som står inne i en sum. Dette er en av de vanligste feilene i algebra.
Eksempel: (x^2 - 9)/(x - 3). Først faktoriserer vi telleren: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Da får vi ((x - 3)(x + 3))/(x - 3). Nå kan vi forkorte faktoren x - 3, så uttrykket blir x + 3, med begrensningen x ≠ 3.