Logaritmer er et verktøy vi bruker når den ukjente størrelsen står i en eksponent. I Matematikk 1T møter du logaritmer særlig i sammenheng med eksponentialfunksjoner, vekstmodeller og likninger der du skal finne tid. Hvis du for eksempel vet at 2^x=32, kan du se at x=5. Men hvis du får 2^x=37, trenger du et mer generelt verktøy. Det verktøyet er logaritmer.
En logaritme svarer på spørsmålet: Hvilken eksponent må vi bruke for å få et bestemt tall? Når vi skriver log(100)=2, betyr det at 10^2=100. Logaritmen forteller altså eksponenten. Dette gjør logaritmer til «motsatt operasjon» av potenser, på samme måte som subtraksjon er motsatt av addisjon.
Logaritmer kan virke abstrakte første gang du møter dem, men de blir mye enklere når du kobler dem til potenser. Repetér gjerne /ressursbank/artikler/potenser-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/eksponentialfunksjoner-forklart-enkelt før du jobber videre.
Grunnideen bak logaritmer
La oss starte med potenser. Vi vet at 10^1=10, 10^2=100 og 10^3=1000. Derfor er log(10)=1, log(100)=2 og log(1000)=3. Logaritmen forteller hvilken eksponent 10 må opphøyes i for å gi tallet.
Når vi bruker log uten å skrive grunntall, mener vi vanligvis tierlogaritmen. Den har grunntall 10. Det betyr at log(10000)=4, fordi 10^4=10000. I digitale verktøy finner du ofte knappen log på kalkulatoren.
I matematikk finnes også andre logaritmer, for eksempel naturlig logaritme ln. I Matematikk 1T er det viktigste at du forstår prinsippet: logaritmer gjør det mulig å finne en ukjent eksponent.
Logaritmer som motsatt av potenser
Hvis 10^x=1000, kan vi skrive x=log(1000). Siden log(1000)=3, er x=3. Her bruker vi logaritmen til å «hente ned» eksponenten. Dette er nyttig når vi ikke kan se svaret direkte.
Tenk på sammenhengen slik: Potensregning går fra eksponent til verdi. Logaritmer går fra verdi tilbake til eksponent. Hvis potensen spør «hva blir tallet?», spør logaritmen «hvilken eksponent brukte vi?».
Denne forståelsen er viktigere enn å pugge regler isolert. Når du vet hva logaritmen betyr, blir reglene mer logiske.
Eksempel: Løs 10^x=500
Vi ønsker å finne x slik at 10^x=500. Vi tar logaritmen på begge sider og får log(10^x)=log(500). Siden log(10^x)=x, får vi x=log(500). Med kalkulator blir log(500)≈2,70.
Dette betyr at 10^2,70 er omtrent 500. Svaret er ikke et helt tall, og det er nettopp derfor vi trenger logaritmer. Uten logaritmer måtte vi bare gjette eller bruke graf.