Faktorisering betyr å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer. I stedet for å se på et uttrykk som en sum eller differanse, prøver vi å finne hvilke deler som er ganget sammen. Dette er en av de viktigste ferdighetene i algebra i Matematikk 1T, fordi faktorisering gjør det mulig å forkorte brøker, løse likninger, forenkle uttrykk, analysere funksjoner og forstå sammenhengen mellom algebraiske former.
Et enkelt tall-eksempel er 12 = 3 · 4 eller 12 = 2 · 2 · 3. Når vi faktoriserer algebraiske uttrykk, gjør vi noe lignende. Uttrykket 3x + 6 kan faktoriseres til 3(x + 2), fordi 3 er felles faktor i begge ledd. Uttrykket x^2 - 9 kan faktoriseres til (x - 3)(x + 3), fordi det er en differanse av to kvadrater. I 1T er faktorisering et tema som binder sammen [brøkregning forklart enkelt](/ressursbank/artikler/brokregning-forklart-enkelt), [potenser forklart enkelt](/ressursbank/artikler/potenser-forklart-enkelt), [røtter forklart enkelt](/ressursbank/artikler/rotter-forklart-enkelt) og [likninger forklart enkelt](/ressursbank/artikler/likninger-forklart-enkelt).
Hvorfor er faktorisering viktig?
Faktorisering er viktig fordi mange algebraiske problemer blir enklere når uttrykket står som et produkt. Hvis du skal løse x^2 - 5x = 0, kan du faktorisere til x(x - 5)=0. Da ser du at x=0 eller x=5. Hvis du skal forkorte brøken (x^2 - 9)/(x - 3), kan du faktorisere telleren til (x - 3)(x + 3). Da kan du forkorte x - 3, så lenge x ikke er 3. Uten faktorisering ser uttrykket vanskeligere ut enn det er.
Faktorisering hjelper deg også med å forstå nullpunkter til funksjoner. Hvis f(x)=x^2 - x - 6, kan vi faktorisere til f(x)=(x - 3)(x + 2). Da ser vi direkte at nullpunktene er x=3 og x=-2. Dette er sentralt i arbeid med andregradsfunksjoner.
Første metode: Trekk ut felles faktor
Den enkleste formen for faktorisering er å trekke ut en felles faktor. Se på uttrykket 6x + 12. Begge ledd kan deles på 6. Derfor kan vi skrive:
6x + 12 = 6(x + 2)
Vi kan kontrollere ved å gange ut igjen: 6(x+2)=6x+12. Faktorisering og utviding er motsatte operasjoner.
Et algebraisk eksempel er 4x^2 - 8x. Begge ledd har 4x som felles faktor:
4x^2 - 8x = 4x(x - 2)
Hvis du er usikker, kan du gange ut: 4x·x=4x^2 og 4x·(-2)=-8x. Da stemmer det.
Andre metode: Differanse av to kvadrater
En svært viktig regel er:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Denne regelen brukes ofte i 1T. Eksempler:
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)
9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)
4a^2 - 49b^2 = (2a - 7b)(2a + 7b)