Eksponentialfunksjoner beskriver situasjoner der noe vokser eller avtar med en fast prosent eller en fast faktor for hvert steg. De er viktige i Matematikk 1T fordi de brukes til å modellere renter, befolkningsvekst, verdifall, halveringstid, smitteutvikling og mange andre prosesser.
En typisk eksponentialfunksjon skrives som f(x)=a·b^x. Her er a startverdien, og b er vekstfaktoren. Hvis b er større enn 1, vokser funksjonen. Hvis b er mellom 0 og 1, avtar funksjonen. Variabelen x står i eksponenten, og det er dette som gjør funksjonen eksponentiell.
Se også /ressursbank/artikler/hva-er-funksjoner og /ressursbank/artikler/lineaere-funksjoner-forklart-enkelt for å sammenligne funksjonstyper.
Startverdi
Startverdien er verdien når x=0. I f(x)=a·b^x får vi f(0)=a·b^0=a. Derfor er a startverdien. Hvis en konto starter med 10 000 kroner, og beløpet øker med 5 prosent per år, kan modellen være K(x)=10000·1,05^x. Startverdien er 10 000.
Startverdien må alltid tolkes i sammenheng med oppgaven. Hvis x er år etter 2026, er x=0 året 2026. Hvis x er timer etter et forsøk startet, er x=0 starttidspunktet for forsøket.
Vekstfaktor
Vekstfaktoren forteller hva vi ganger med for hvert steg. Ved prosentvis økning bruker vi 1+p/100. Ved 8 prosent økning er vekstfaktoren 1,08. Ved prosentvis nedgang bruker vi 1-p/100. Ved 12 prosent nedgang er vekstfaktoren 0,88.
Dette er en vanlig kilde til feil. En økning på 8 prosent betyr ikke at vi ganger med 8 eller 0,08. Vi ganger med 1,08 fordi vi beholder hele den gamle verdien og legger til 8 prosent.
Eksponentiell vekst
Hvis en bakteriekultur starter med 500 bakterier og dobles hver time, kan modellen være B(t)=500·2^t. Etter 0 timer er det 500 bakterier. Etter 1 time er det 1000. Etter 2 timer er det 2000. Etter 3 timer er det 4000.
Regelen er lik hver gang: Vi ganger med 2. Likevel blir økningen i antall større og større. Dette er typisk for eksponentiell vekst. Det forklarer hvorfor slike modeller kan vokse svært raskt.
Eksponentiell nedgang
Hvis en bil koster 300 000 kroner og faller 15 prosent i verdi hvert år, kan modellen være V(x)=300000·0,85^x. Vekstfaktoren er 0,85 fordi bilen beholder 85 prosent av verdien hvert år.
Etter ett år er verdien 255 000 kroner. Etter to år er verdien 216 750 kroner. Nedgangen i kroner blir mindre etter hvert, selv om den prosentvise nedgangen er den samme.
Hvordan kjenne igjen modellen