I Matematikk 1T møter du funksjonsdrøfting fordi funksjoner er et språk for å beskrive sammenhenger, endring og modeller. Mange elever kan tegne en graf, men blir usikre når de må forklare hva grafen betyr, hvorfor en funksjon vokser eller avtar, og hvordan algebra, derivasjon og grafisk tolkning henger sammen. Denne artikkelen gir deg en rolig, trinnvis og eksamensrettet forklaring som passer for VG1 etter LK20.
Målet er ikke bare at du skal kunne sette inn tall i en formel. Du skal kunne undersøke, resonnere, argumentere og velge metode. Det betyr at du må kunne lese en funksjon både fra uttrykk, graf, tabell og praktisk situasjon. Når du behersker funksjonsdrøfting, blir det enklere å løse oppgaver om vekst, optimering, tangenter, nullpunkter og modeller.
Slik bruker du oppgavene
Oppgavene under er laget for å trene på funksjonsdrøfting i Matematikk 1T. De går fra grunnleggende forståelse til mer eksamensnære oppgaver. Prøv først selv, og les deretter løsningsforslaget. Poenget er å lære en metode du kan bruke på nye funksjoner, ikke bare å huske svarene.
Oppgave 1: Enkel andregradsfunksjon
Gitt funksjonen
f(x)=x^2-4x+3
a) Finn nullpunktene. b) Finn bunnpunktet. c) Bestem hvor funksjonen avtar og vokser.
Løsningsforslag
a) Vi finner nullpunktene ved å løse f(x)=0:
x^2-4x+3=0
Vi faktoriserer:
(x-1)(x-3)=0
Dermed er x=1 eller x=3. Nullpunktene er (1,0) og (3,0).
b) For en andregradsfunksjon kan vi finne bunnpunktet med symmetri eller derivasjon. Vi bruker derivasjon:
f'(x)=2x-4
Setter f'(x)=0:
2x-4=0 2x=4 x=2
Så finner vi y-verdien:
f(2)=2^2-4·2+3=4-8+3=-1
Bunnpunktet er (2,-1).
c) Siden f'(x)=2x-4 er negativ når x<2 og positiv når x>2, avtar funksjonen på (-∞,2) og vokser på (2,∞).
Oppgave 2: Tredjegradsfunksjon
Gitt funksjonen
g(x)=x^3-3x^2-9x+5
a) Finn den deriverte. b) Finn kritiske punkter. c) Bestem hvor funksjonen vokser og avtar. d) Finn lokale topp- og bunnpunkter.
Løsningsforslag
a) Vi deriverer ledd for ledd:
g'(x)=3x^2-6x-9
b) Vi setter den deriverte lik null:
3x^2-6x-9=0
Deler på 3:
x^2-2x-3=0
Faktoriserer:
(x-3)(x+1)=0
Dermed er x=3 eller x=-1.
c) Vi undersøker fortegnet til g'(x)=3(x-3)(x+1).
For x<-1 er begge faktorene negative/positive slik at produktet blir positivt. Funksjonen vokser. For -1<x<3 er produktet negativt. Funksjonen avtar. For x>3 er produktet positivt. Funksjonen vokser.