Funksjonsdrøfting i Matematikk R1 betyr å undersøke hvordan en funksjon oppfører seg. Du ser på definisjonsmengde, nullpunkter, fortegn, vekst og fall, ekstremalpunkter, krumming, vendepunkter, asymptoter og graf. Temaet samler store deler av R1, særlig algebra, derivasjon og grenseverdier. Derfor er det et viktig prøvetema og et tema som ofte skiller mellom overflatisk regning og dyp forståelse.
Dette sammendraget gir en kort, men grundig oversikt over det du bør kunne. Bruk det før prøve, til repetisjon eller som sjekkliste når du løser større oppgaver. Se også ifingos ressurser om /ressursbank/artikler/derivasjon, /ressursbank/artikler/grenseverdier, /ressursbank/artikler/rasjonale-funksjoner og /ressursbank/artikler/r1-eksamen.
Hovedidéen
En funksjon kan forstås på flere måter: som formel, graf, tabell, verbal beskrivelse og modell. Når du drøfter en funksjon, kobler du disse representasjonene sammen. Du undersøker uttrykket algebraisk og tolker resultatene grafisk.
Hvis du finner at f'(x)>0 på et intervall, betyr det at grafen stiger der. Hvis du finner at f'(x)<0, betyr det at grafen faller. Hvis f''(x)>0, krummer grafen oppover. Hvis f''(x)<0, krummer grafen nedover. Hvis funksjonen nærmer seg en linje uten å nødvendigvis treffe den, kan linjen være en asymptote.
Definisjonsmengde
Definisjonsmengden er mengden av alle x-verdier funksjonen kan ha. Den bør ofte komme først i en drøfting. For polynomfunksjoner er definisjonsmengden alle reelle tall. For rasjonale funksjoner må nevneren være ulik null. For logaritmefunksjoner må argumentet være positivt. For rotfunksjoner med partallsrot må uttrykket under rota være større enn eller lik null.
Eksempel: f(x)=1/(x-4) har definisjonsmengde R \ {4}. Det betyr at x=4 ikke kan brukes som vanlig punkt. Verdien kan derimot være knyttet til en vertikal asymptote.
Nullpunkter
Nullpunkter finnes ved å løse f(x)=0. Grafisk er dette punktene der grafen skjærer eller berører x-aksen. Nullpunkter sier ikke direkte om funksjonen vokser eller avtar. De sier hvor funksjonsverdien er null.
For rasjonale funksjoner finner du ofte nullpunktene ved å sette telleren lik null, men du må kontrollere at nevneren ikke også blir null. For polynomfunksjoner kan faktorisering, abc-formel eller polynomdivisjon være nyttig.
Skjæring med y-aksen
Skjæring med y-aksen finnes ved å regne f(0), dersom 0 er med i definisjonsmengden. Punktet skrives som (0, f(0)). Dette er ofte en enkel del av drøftingen, men den hjelper deg å tegne grafen riktig.