Matematikk R1 i LK20 handler ikke bare om å kunne en formel utenat. Du skal kunne undersøke, begrunne, modellere, velge metode, tolke resultater og kommunisere matematikk presist. I temaet derivasjon betyr det at du må se sammenhengen mellom uttrykk, graf og endring. Produktregelen og kvotientregelen er derfor ikke isolerte triks, men verktøy du bruker når funksjoner er bygd opp av flere deler. Når du arbeider systematisk, blir reglene mindre mystiske: du identifiserer strukturen i funksjonen, velger riktig regel, deriverer delene, setter inn i formelen, forenkler og kontrollerer svaret.
Produktregelen brukes når en funksjon er et produkt av to funksjoner, for eksempel f(x)=u(x)·v(x). Regelen sier at den deriverte er f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x). Den viktigste ideen er at begge faktorene kan endre seg samtidig. Derfor holder det ikke å derivere bare den ene faktoren, og det holder heller ikke å derivere begge og multiplisere dem med hverandre. Produktregelen summerer to bidrag: først endringen i den første faktoren mens den andre beholdes, deretter endringen i den andre faktoren mens den første beholdes.
Produktregelen sammenlignet med andre regler
Produktregelen brukes når uttrykket består av faktorer som multipliseres. Potensregelen brukes når du har en enkel potens av x, for eksempel x^5. Kjerneregelen brukes når en funksjon ligger inni en annen funksjon, som (3x+1)^7. Kvotientregelen brukes når uttrykket er en brøk med funksjoner i teller og nevner. I mange R1-oppgaver må du kombinere flere av disse reglene i samme uttrykk.
Forskjellen mellom produktregelen og kjerneregelen er særlig viktig. I uttrykket (x^2+1)^5 har du ikke et produkt av x^2+1 fem ganger i praktisk regning; du har en ytre potensfunksjon og en indre funksjon. Da er kjerneregelen riktig. I uttrykket (x^2+1)(x^5-3) har du derimot to faktorer, og produktregelen er riktig.
Produktregelen og kvotientregelen henger sammen. En brøk kan skrives som produkt med negativ eksponent, men kvotientregelen er ofte mer direkte. I R1 er det nyttig å kunne begge synsvinkler, fordi omskriving kan gjøre noen oppgaver enklere.
Typiske grenseoppgaver
La f(x)=(x^2+3x)(2x-5). Her er u=x^2+3x og v=2x-5. Da er u'=2x+3 og v'=2. Produktregelen gir f'(x)=(2x+3)(2x-5)+(x^2+3x)·2. Etterpå kan du forenkle hvis oppgaven ber om det, men det viktigste er at begge leddene er med.
La g(x)=e^x(x^2-4). Her er u=e^x og v=x^2-4. Siden u'=e^x og v'=2x, får vi g'(x)=e^x(x^2-4)+e^x·2x. Dette kan faktoriseres til e^x(x^2+2x-4). Faktorisering gjør uttrykket ryddigere og kan være nyttig ved fortegnsskjema.