Linjer dukker opp mange steder i Matematikk R1, men de betyr ikke alltid det samme som funksjoner, vektorer, linjestykker, tangenter, normaler eller parameterframstillinger. En vanlig utfordring er at temaene ligner hverandre så mye at elevene bruker riktig formel i feil situasjon. Denne artikkelen rydder opp i forskjellene. Målet er at du skal se hva en linje er, hva som bare er en måte å beskrive linjen på, og hvordan linjer henger sammen med andre deler av R1.
En linje i planet kan forstås geometrisk som en rett, uendelig punktmengde. Algebraisk kan den beskrives med en likning. Vektorielt kan den beskrives med et punkt og en retning. Grafisk kan den tegnes i koordinatsystem. Alle disse beskrivelsene peker på samme objekt, men de brukes til ulike formål. Når du forstår forskjellen, blir oppgaver om skjæring, parallellitet, normaler og avstand mye lettere.
Linje og funksjon
Mange linjer kan skrives som funksjoner, for eksempel f(x) = 2x + 3. Da får hver x-verdi nøyaktig én y-verdi. Dette er en lineær funksjon. Men ikke alle linjer er funksjonsgrafer på formen y = ax + b. En loddrett linje, for eksempel x = 4, er en linje, men ikke grafen til en funksjon y = f(x). Grunnen er at samme x-verdi har uendelig mange y-verdier.
Dette er en viktig forskjell. Når oppgaven sier «linjen x = 4», skal du ikke prøve å finne stigningstall på vanlig måte. Linjen er loddrett. Den har ingen definert stigning i y = ax + b-form. Hvis du prøver å regne med a = 0, får du feil, fordi a = 0 beskriver en vannrett linje.
Linje og linjestykke
En linje er uendelig. Et linjestykke er begrenset mellom to endepunkter. Hvis A(1, 2) og B(5, 4) er to punkter, kan vi snakke om linjen gjennom A og B, eller linjestykket AB. Linjen fortsetter forbi begge punktene. Linjestykket stopper ved A og B.
Denne forskjellen er viktig i geometriske oppgaver. Hvis du skal finne skjæring mellom en sirkel og en linje, kan du få to skjæringspunkter. Men hvis du egentlig skulle undersøke linjestykket, må du også kontrollere om skjæringspunktene ligger mellom endepunktene. Det er ikke nok at de ligger på den uendelige linjen.
Linje og vektor
En vektor har størrelse og retning. En linje kan bruke en vektor som retning, men linjen er ikke det samme som vektoren. Hvis linjen går gjennom punktet P og har retningsvektor v, kan vi skrive en parameterframstilling. Da beskriver v hvordan vi beveger oss langs linjen, mens punktet P bestemmer hvor linjen ligger.